第6章 静电场习题解答

6-1两个电量都是+的点电荷，相距，连线中心为，今在它们连线的垂直平分线上放置另一点电荷，与相距，求（1）所受的力；（2）放在哪一点时所受的力最大,是多少?

解 如解用图，以点为原点，建立直角坐标系

（1）点电荷所受的力

将，，代入上式并化简

故                            

 （2）若点电荷在r处受力最大，则 

即                  

解得                               

此时                   

6-2 三个点电荷的带电量均为Q，分别位于边长为a的等边三角形的三个角上，求在三角形重心应放置一电量为多少的点电荷，系统处于平衡状态。

解 如解用图，以电荷a为例来讨论，设放置的电荷为,b对a的作用力为，c对a的作用力为，和的合力为，q对a的作用力为，则

,

，由

得        

解得                          

不难看出，三个顶点上的点电荷对的合力为零，所以整个系统处于平衡状态。

6-3  设边长为a的正方形的四角上放有4个点电荷如图，正方形中心点为O，P点距O为x（x>>a），求P点的电场强度。

解 如图，可将左边上下两个电荷看成一个电偶极子，右边上下两个电荷看成一个电偶极子。利用电偶极子中垂线上的电场强度公式，可知P点处的电场强度的方向垂直于OP，方向向上。P点处的电场强度的大小为

    6-4 一均匀带电直线长为，线电荷密度为。求直线的延长线上距中点o为）处P点的场强。

解 如解用图所示，取中点为轴原点，电荷元在点的场强为

整个带电直线在点的场强为

方向沿x轴正向。                                          

6-5 如图所示，两根平行长直导线间距为，一端用半圆形线连起来。设全线上均匀带电，电荷线密度为，求圆心处的电场强度。

解 方法一 如解用图1，考虑对顶角为所对应的电荷元和，则在圆心处产生的电场强度

在圆心处产生的电场强度

 即,易见两者方向相反，所以合场强为零。又由于此结果与无关，所以对任意一对对顶角为所对应的电荷和在圆心处产生的合场强都为零。所以全线电荷在圆心处的电场强度为零。

   方法二 由教材例6-4与6-5的结果及场强叠加原理

6-6如图，一个细的带电塑料圆环半径为，所带电荷线密度为和有，试求圆心处的场强。

解 在如解用图所示的直角坐标系中，电荷元

在圆

心处所产生的电场强度的大小为

则沿x轴和y轴的两个分量分别为

6-7 图中电场强度的分量为式中设。试计算（1）通过立方体表面的总电通量；（2）立方体内的总电荷量。

解 已知电场强度为沿x方向的非均匀电场，因此，通过立方体的上、下、前、后四个面的法线与电场强度垂直，从而电通量为零，而与x轴垂直的左（面1）、右（面2）两个侧面的电通量不为零。

（1）       

（2）由高斯定理得         

6-8 实验证明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均场强约为，方向向下，这意味着地球表面上有多少过剩电荷？试以每平方厘米的额外电子数来表示。

解 设想地球表面为一均匀带电球面，总面积为，则它所总电量为

单位面积带电量为                   

单位面积上的额外电子数为

6-9 内外半径分别为和的两无限长共轴圆柱面，内圆柱面带均匀正电荷，线密度为，外圆柱面带均匀负电荷，线密度为，求空间的电场分布。

解 由对称性分析可知，分布具有轴对称性，即与圆柱轴线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。

如解用图，作半径为，高度为、与两圆柱面同轴的圆柱形高斯面，则穿过圆柱面上下底的电通量为零，穿过整个高斯面的电通量等于穿过圆柱形侧面的电通量。

若，，得

若， 得

若，得          

(垂直中心轴线向外)

6-10 有均匀带电球体，半径为，电量为，求球内外场强。

解 电荷分布具有球对称性，所以电场分布也具有球对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为球心的任意球面上各点的大小相同。如解用图，以O为球心，过P点作半径为的高斯球面S。

球内任一点 

由高斯定理                

即                          

球外任一点

由高斯定理得             

均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。

方向沿半径方向。曲线如解用图2。

6-11 无限大均匀带电平板，厚度为，电荷体密度为，求板内、外场强分布。

解 无限长均匀带电平板产生的电场具有平面对称性，即关于板平面对称的点和的场强大小相等，方向背离对称面。 

如解用图，取两底与对称面平行并与对称面等距离，且分别过和两点的圆柱面S为高斯面，并设底面积，则此时穿过高斯面的电通量    

以对称面上的某点O为原点，设p点的坐标为。

若，则应用高斯定理有

得                                             

若或则应用高斯定理有     

得                                             

方向均垂直于板面。

6-12 点电荷的电荷量均为放置在一正方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心o的距离均为，将一试探电荷从无穷远移到点，电场力作功多少？在此过程中的电势能改变多少？

解 由电势叠加原理

电场力的功         

由得            

6-13 两个同心的均匀带电球面，半径分别为已知内球面的电势为外球面的电势为（1）求内外球面所带电量；（2）在两个球面之间何处电势为零？

解 （1）以和分别表示内外球面所带量。由电势叠加原理

代入和的值联立解上两式得

 （2）由得

6-14在距无限长均匀带电直线处有一点电荷，在电场力作用下，点电荷运动到距直线处，电场力作功，求带电直线的电荷线密度。

解、两点间的电势差       

电荷从点运动到点电场力作的功                            

6-15有一均匀带电细圆环，半径为，电荷线密度为（），圆环平面用支架固定在某水平面上（如图），求（1）在通过圆环中心，且垂直环面轴线上方，距离环心为处点的电势；（2）有一质量为，带电为－的小球从点由静止开始，在重力和静电力作用下下落，小球达到点时的速度。

解（1）均匀带电细圆环的半径为，电荷线密度为，则其所带电量，它在中心轴线上点的电势                

（2）在环的圆心点的电势                   

两点间的电势差          

小球从点运动到点，根据动能定理有         

解得                                        

6-16 电荷均匀分布在半径为的球体内，求其激发的电势分布。

解 由习题6-10 带电球体的电场分布为

方向沿半径方向。

球内       

 球外                

6-17 一均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为。试求（1）盘轴线上任一点电势；（2）由场强与电势关系求轴线上任一点场强。

解（1）取x轴与盘轴线重合，原点在盘上。以O为中心，半径为、宽为的圆环在p处产生的电势为

整个盘在p点产生的电势为

（2)                   

， 垂直且背离板面；， 垂直且指向板面。

6-18 如图，一半径为，带电量为的导体球在距球心点处放置一已知点电荷，在距球心点处放置一点电荷，试求当为多少时，可使导体电势为零（以无穷远处为电势零点）

解 导体球内部空间是等势区，导体球所带电量分布在球面上，在点产生的电势

点电势  

6-19三平行金属板A、B、C面积均为200，A、B板相距4.00mm, A、C相距2.00mm, B和C两板都接地。如果使A板带正电，求（1）B、C板上的感应电荷；

（2）A板的电势。

    解 由于B、C接地，其外侧电荷必为零

   （1）设A板所带电荷量为，A板与B板相对的面所带的电荷为,与C板相对的面所带的电荷为,显然 

                                  （1）

由于A、B、C三板内电场为零，作一个圆柱形高斯面，一个底面在A板内，一个底面在B板内；另一个圆柱形高斯面，一个底面在A板内，一个底面在C板内；由高斯定理知， 

          （2）

由此可知             （3） 

因B、C两板接地，，

得                                                      （4）

联解上面4式，得     

（2）因B、C两板接地

6-20 如图，半径为的金属导体球外有一内半径为、外半径为的同心导体球壳，设球壳离地很远。若球壳带电量为，并设法用导线将内部金属导体球接地，求静电平衡后内球所带的电量。

解 设内部金属球接地达到静电平衡后所带电量为，球壳内表面感应的电量为,球壳外表面总电量为,电荷都均匀分布在各表面上。

由内部金属球接地，知 

解得                                

6-21 两个电容器与分别标明与，把它们串联起来。（1）其等值电容为多大？（2）两端加上1000V的电压，是否会被击穿？★(3）如果要使这电容器组不被击穿，最大可加多大电压？

解 （1）等值电容

（2）加上U＝1000V电压，各电容器端电压(见图)

而由此得

电容器电压600V超过其耐压值500V，这样被击穿，接着也将被击穿。

（3）各电容器由耐压值所决定的最大带电量。

电容器的最大带电量小于电容器，考虑到各个串联的电容器带电量相等，这样上的最大电压按的最大带电量来推算。

串联电容器组最大可加电压

6-22 半径为a的二平行长直导线相距为d（d>>a），二者电荷线密度为，，试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。

解（1）如图所取坐标(O为A导线轴上的一点.垂直于导线)，

任一点P场强大小为：

（2）                 

6-23圆柱形电容器由半径为的长直圆柱导体和与它同轴的薄导体圆筒组成，圆筒的半径为。若直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为的均匀各向同性电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为和。求（1）电介质中的电位移、场强；（2）此圆柱形电容器的电容。

解（1）由对称性分析，电场为轴对称分布，作半径为，高度为、与电容器同轴的圆柱形高斯面，有        

可得                           

由得电介质中场强（），与的方向均沿径向向外。

（2）圆柱形电容器两极板间的电势差为

由电容的定义可求得         

6-24 电容分别为和的两个电容器，把它们并联充电到电压和把它们串联充电到电压，在电容器组中，哪种形式储存的电荷量、能量大些？大多少？

解 并联时                           

串联时                       

电荷量差                                

即并联时大；

能量差                          

即并联时大。

    6-25 将一个的电容器充电到100V，然后把它和电源断开，再把它和另一电容器并联，最后电压为30V。第二个电容器的电容多大？并联时损失了多少电能？

     解 由于并联前后电量不变，所以有

由此解得               

能量的减少为                   

     6-26 一球形电容器，内外球壳的半径分别为和，两球间充满相对介电常数为的电介质。（1）求此电容器带有电量时所储存的电能；（2）由电容器储能公式求该电容器的电容。

解 （1）由于此电容器内外球壳分别带电和，由高斯定理可求出内球壳内部和外球壳外部的电场强度都是零。两球壳间的电场分布为

此电容器储存的电能

     （2）由  得