高考数学第一轮复习：复数

一、选择题

1．复数2＋i 1－2i

的共轭复数是( )． A ．－35i B.35

i C ．－i D ．i 解析 2＋i 1－2i ＝i －2i ＋1 1－2i ＝i ，∴2＋i 1－2i

的共轭复数为－i. 答案 C

2．复数i －21＋2i

＝( )． A ．i B ．－i

C ．－45－35

i D ．－45＋35i 解析 因为

i －21＋2i ＝ i－2 1－2i 1＋2i 1－2i ＝5i 5

＝i ，故选择A. 答案 A 3.在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z

＋z 2对应的点位于 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析 由题知，2z ＋z 2＝21＋i

＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ， 所以复数2z

＋z 2对应的点为(1,1)，其位于第一象限． 答案 A

4． i 是虚数单位，若2＋i 1＋i

＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值是( ) A ．0 B.12

C ．1

D ．2 解析 ∵2＋i 1＋i ＝ 2＋i 1－i 1＋i 1－i ＝32－12i ，∴a ＝32，b ＝－12，∴a ＋b ＝32－12

＝1.

5．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝

( )．

A ．3－i

B ．3＋i

C ．1＋3i

D ．3

解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.

答案 A

6.复数131i i

-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 解析 i i i i i i i i 212

42)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 答案 C

7．设z 是复数，f (z )＝z n (n ∈N *)，对于虚数单位i ，则f (1＋i)取得最小正整数时，对应n 的值是( )．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析 f (1＋i)＝(1＋i)n ，则当f (1＋i)取得最小正整数时，n 为8.

答案 D

二、填空题

8．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部是________．

解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2i i

＝2＋3i ，即z ＝1＋3i. 答案 1

9．若复数(1＋a i)2(i 为虚数单位，a ∈R)是纯虚数， 则复数1＋a i 的模是________．

解析 因为(1＋a i)2＝1－a 2＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2＝0，a 2＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2＝ 2.

答案10．如果复数(m 2＋i)(1＋m i)(其中i 是虚数单位)是实数，则实数m ＝________. 解析 (m 2＋i)(1＋m i)＝(m 2－m )＋(1＋m 3)i.于是有1＋m 3＝0⇒m ＝－1.

11.若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为______.

解析 i i i i i i i i z 535

2515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 答案 3+5i

12．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若复数x ＝1－i 1＋i

，y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ，则y ＝________. 解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝ 1－i 22

＝－i.

所以y ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 x i x ＋i ＝⎪⎪⎪⎪4i 2 10＝－2.

答案 －2

三、解答题

13．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ；当实数m 取什么值时，复数z 是：

(1)零；(2)纯虚数．

解析 (1)由⎩⎨⎧ m m －1 ＝0，m 2＋2m －3＝0，

得m ＝1，即当m ＝1时，z ＝0. (2)由⎩⎨⎧ m m －1 ＝0，m 2＋2m －3≠0，得m ＝0.即当m ＝0时，z 是纯虚数．

14．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示：0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：

(1)AO →、BC →所表示的复数；

(2)对角线CA →所表示的复数；

(3)求B 点对应的复数．

解析 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.

∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.

(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为

(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，

∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，

即B 点对应的复数为1＋6i.

15．已知复数z 满足条件|z|＝2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值． 解析 由已知，复数z 对应的点Z 在复平面上的轨迹是以原点O 为圆心、2为半径的圆．

设ω＝1＋3i ＋z ＝z －(－1－3i)，

则|ω|表示动点Z 到点C(－1，－3)的距离，

∵|OC

→|＝2，根据圆的几何性质知， 动点Z 到点C(－1，－3)的距离最大值为2＋r ＝2＋2＝4，最小值为2－r ＝0， ∴复数1＋3i ＋z 的模的最大值为4，最小值为0.

16．已知z 是复数，z ＋2i 、z

2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在

复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．

解析 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，

∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.

z

2－i ＝x －2i 2－i ＝15

(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15

(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.

∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，

根据条件，可知⎩⎨⎧ 12＋4a －a 2＞0，8 a －2 ＞0，解得2＜a ＜6，

∴实数a 的取值范围是(2,6)．