立体几何大题求体积习题汇总

π1．[ ·重庆卷20] 如图1-4 所示四棱锥P- ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD ＝

3

，

M 为BC 上一点，且BM＝1 2.

(1)证明：BC⊥平面POM ；(2) 若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO 的体积．

图1-4

2．[ ·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F 分别是A1C1，BC 的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥 E - ABC 的体积．

3．[ ·福建卷19] 如图1-6 所示，三棱锥 A - BCD 中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M 为AD 中点，求三棱锥 A - MBC 的体积．

1

4．[ ·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P - ABD 的体积V＝

3

，求 A 到平面PBC 的距离．4

5．[ ·广东卷18] 如图1-2 所示，四边形ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3 折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F 分别在线段PD，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M，并且MF ⊥CF.

(1)证明：CF⊥平面MDF ；(2) 求三棱锥M - CDE 的体积．

图1-2 图1-3

6．[ ·辽宁卷19] 如图1-4 所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G 分别为AC，DC，AD 的中点．

(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥 D -BCG 的体积．

2

7．[ ·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC - A1B1C1 中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC - A1B1C1 的高．

π8．[ ·重庆卷20] 如图1-4 所示四棱锥P- ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD ＝

3

，

M 为BC 上一点，且BM＝1 . 2

(1)证明：BC⊥平面POM ；(2) 若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO 的体积．

图1-4

9、如图 5 所示，在三棱锥P ABC 中，AB BC 6 ，平面PAC 平面ABC ，PD AC 于点D ，AD 1，CD 3 ，PD 2 ．

（1）求三棱锥P ABC 的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．

P

A D C

B

图5

3

10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2 ，F 为CE 是的点，且BF 平面ACE，

AC BD G

（1）求证：AE 平面BCE；（2）求三棱锥C—BGF 的体积。

11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，AD AC DE 2AB =1，且F 是CD 的中点．AF 3

（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE ；

E

(III) 求此多面体的体积．

B

A

C D

F

12、在如图 4 所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a，

AP CP 2a ，D P // AM ，且

1

AM DP ，E, F分别为BP, CP 的中点.

2

(I)证明：EF // 平面ADP ; (II) 求三棱锥M ABP 的体积.

4

13、在棱长为a的正方体ABCD ABC D 中, E 是线段

1 1 1 1 AC 的中点, 底面ABCD的中心是

F.

1 1

(1) 求证: CE BD ；(2) 求证: CE∥平面ABD ；(3) 求三棱锥 D A1BC 的体积.

1

14、矩形ABCD 中，2AB AD ，E 是AD 中点，沿BE 将ABE 折起到别是BE、CD 中点.

（1）求证： A F ⊥CD ；

（2）设AB 2 ，求四棱锥 A BCDE 的体积.

'

A BE 的位置，使

' '

AC A D ，F 、G 分

15 、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面PAD 底面ABCD ，且

2

P A P D A，D若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.

2

（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC 平面PAD .

（3）求四棱锥P ABCD 的体积V .

P ABCD

5

16、如图, 在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC 3 ，BC 4 ，AB 5, AA1 4，点D 是AB 的中点，

（1）求证：A C BC ；（2）求证：AC1 //平面CDB1 ；

1

（3）求三棱锥C CDB 的体积。

1 1

17、如图1，在正三角形ABC 中，AB=3 ，E、F、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1 。将AFE 沿EF 折起到A1EF 的位置，使平面A1EF 与平面BCFE 垂直，连结 A 1B、A 1P（如图2）。

（1）求证：PF//平面A 1EB；

（2）求证：平面BCFE 平面 A 1EB；

（3）求四棱锥 A 1—BPFE 的体积。

18、如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB1 2 ，M 是线段B1D1的中点．

(1) 求证：BM / / 平面D1AC ；

(2) 求三棱锥D1 AB1C 的体积．

6

191、已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为 4 的正方形，PD 平面ABCD ，PD 6, E,F 分别为PB, AB 中点。

(1)证明：BC 平面PDC ;

(2)求三棱锥P DEF 的体积。

20、如图6，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA，AC、CB、BP的中点．

(1) 求证：D、E、F、G四点共面；(2) 求证：PC⊥AB；

(3) 若△ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，P C 2 ，求四面体PABC的体积．

21、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7 ,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：BC // EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ；

（3）在（2）的条件下，求四棱锥 A BCE 的体积.

7

22、如图，平行四边形ABCD 中，CD 1，BCD 60 ，且BD CD ，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，G, H

是DF , BE 的中点．

（1）求证：BD 平面CDE ；（2）求证：GH // 平面CDE ；

（3）求三棱锥 D CEF 的体积．

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