专升本试题及解答

一、选择题（每题3分，共15分）

1、极限（   D    ）

（A）      （B）     （C）      （D）

【知识点】第二个重要极限。

解析：。

2、函数在处（  D   ）

（A）   （B）  （C）  （D）不存在

【知识点】导数的定义。

解析：，即不存在。

3、直线与直线的夹角为（   A    ）

（A）       （B）       （C）        （D）

【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）。

解析：由参数方程得对称式方程：；

于是，，即。

4、设，则（   D    ）

（A） （B） （C） （D）

【知识点】凑微分法。

解析：。

5、设连续，交换二次积分的次序是（   C    ）

（A）        （B）

（C）        （D）

【知识点】交换二次积分次序。

解析：新积分区域，所以，。

二、填空题：（每题3分，共15分）

6、函数的定义域是     。【】

【知识点】二元函数的定义域。

解析：定义域为：。

7、           。【】

【知识点】换元法、分部积分法。

解析：令，。

于是，。

8、判定级数收敛还是发散，答：             ；【收敛】

【知识点】比值审敛法。

解析：。

9、微分方程的通解          。【】

【知识点】可分离变量微分方程。

解析：。

10、曲面在点处的切平面  。【】

【知识点】曲面的切平面方程。

解析：令，，，；

过点的切平面方程的法向量，

故，切平面方程为：，即。

三、解答题（每小题8分，共56分）

11、求极限。

【知识点】等价替换。

解析：。

12、已知函数由方程确定，求。

【知识点】参数方程的二阶导数。

解析：，。

13、由元素法的思想写出：由型区域，绕轴旋转的旋转体的体积公式，然后计算由，与轴所围成图形绕轴旋转的体积。

【知识点】元素法（微元法）。

解析：在区间任取小区间，面积元素，

而绕轴旋转而成圆环（周长），其体积元素；（展开为长方体）

于是，平面图形绕轴旋转而成立体的体积为：。

由此公式得：。

14、设，其中具有二阶连续偏导数，求。

【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。

解析：；。

15、求曲线积分，其中取逆时针方向。

【知识点】曲线积分（曲线积分与路径无关）。

解析：因，所以，曲线积分与路径无关。

取直线段（轴上）：，于是，。

16、计算，其中由、和所围成区域。

【知识点】直角坐标系下的二重积分计算。

解析：积分区域。

。

17、求函数的极值。

【知识点】二元函数的极值。

解析：令得驻点；又，

在点处，，且，

故，函数的极小值为。

四、证明题：（每题7分，共14分）

18、证明：设在上连续可导，，则，使。

【知识点】积分中值定理、罗尔定理。

证明：由在上连续可导知，在上连续，

由积分中值定理，，使；

又，即，由题设知在上连续可导，

由罗尔定理，（即），使。

19、证明：当时，有。

【知识点】单调性判定定理。

证明：令，则，又

，；

当时，，即，故，即，

所以，当时，有，即，，故，结论成立。