...2021-2022学年七年级数学上册(北师大版,成都专用)

【知识点梳理】

1.绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |

2.绝对值的意义

①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离

原点的距离越近，绝对值越小。

3.绝对值的化简：

类型一、多个绝对值的化简

例.已知12x -≤≤，则化简代数式|3|2|1|x x --+的结果是（ ）

A ．13x -

B ．13x +

C ．13x --

D ．13x -+

【答案】A

【解析】∵﹣1≤x ≤2，∴x ﹣3＜0，x +1≥0，

∴|3|2|1|x x --+=（3﹣x ）﹣2（x +1）＝﹣3x +1；

故选：A ． 【变式训练1】若12x <<，则化简12x x ---的结果为()　　

A ．1-

B ．21x +

C ．23x -

D ．32x - 【答案】C

【解析】12x <<，10x ∴->，20x -<，

121223x x x x x ∴---=--+=-．

故选：C ．

【变式训练2】当x

<1时，化简13x x ---的结果是（ ） A ．-2

B ．4

C ．2x -2

D ．2x -4

【答案】A (0)||0(0)(0)

a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

【解析】1x <，10,30x x ∴-<-<，

()1313x x x x ---=---∴13x x =--+2=-，

故选：A ．

【变式训练3】当1【答案】2

【解析】∵13x <<，∴30x -<，10x ->， ∴31(3)(1)312x x x x x x -+-=--+-=-++-=；

故答案为2

类型二、含字母的绝对值的化简

例.化简11a a -+-=（ ）

A ．22a -

B ．0

C ．22a -或0

D ．22a - 【答案】C

【解析】当1a ≥时，11a a -+-=1122a a a -+-=-

当1a <时，11a a -+-=110a a -+-=

故选C ．

【变式训练】若3a >，则|2|5a -+=________．

【答案】a+3．

【解析】∵a ＞3，∴2﹣a ＜0，

∴|2﹣a|+5＝﹣（2﹣a ）+5＝a ﹣2+5＝a+3．

故答案为：a+3．

类型三、求绝对值中字母的取值范围

例.若()m n m n +=-+，则（ ）

A ．0m n +=

B ．0m n +>

C ．0m n +<

D ．0m n +≤ 【答案】D 【解析】

()m n m n +=-+，即m n +的绝对值等于它的相反数，0m n ∴+≤，

故选：D ．

【变式训练1】若|2|2a a -=-，则a 的范围（ ）

A ．2a ≤

B ．2a >

C ．2a <

D ．2a ≥

【解析】∵22a a -=-，∴20a -≤，∴2a ≤．

故选：A ．

【变式训练2】若22a a +=-，则a 的取值范围是___________．

【答案】0a ≤

【解析】当0a ≤时，22a a +=-+，22a a -=-，

22a a -+=-，∴22a a +=-，成立，

当02a <<，22a a +=+，22a a -=-，

22a a +=-，0a =，

当2a ≥时，22a a +=+，|2|2a a -=-，

∵22a a +≠-，∴不成立．

综上所述，a 的取值范围为0a ≤．

故答案为：0a ≤．

【变式训练3】若||=x x ，则x 的取值范围是（ ）

A ．0x >

B ．0x

C ．0x

D ．0x <

【答案】C 【解析】||=x x ，∴x 的取值范围是：0x ≥．

故选择：C ．

类型四、利用数轴化简绝对值

例.已知实数a ，b ，c 在数箱正的位置如图所示，则代数式a a b c a b c -++-++=（

）

A ．2-c a

B ．22a b -

C ．a -

D ．a

【答案】C

【解析】由数轴可得：b ＜a ＜0＜c ，∴a +b ＜0，c -a ＞0，b +c ＜0， ∴a a b c a b c +-+-++=()()()-+++--+a a b c a b c

=-+++---a a b c a b c =a -

【变式训练1】数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：

（1）用“＞”或“＜”填空：

a 0，

b 0，

c 0，a +c 0，b ﹣c 0，b +c 0．

（2）化简：|a +c |+|b ﹣c |﹣|c +b |．

【答案】（1）,,,,,><<<>>；（2）﹣a +2b ﹣c

【解析】（1）从数轴可知：c ＜b ＜0＜a ，|c |＞|b |＞|a |，

所以a ＞0，b ＜0，c ＜0，a +c ＜0，b ﹣c ＞0，b +c ＜0，

故答案为：＞，＜，＜，＜，＞，＜；

（2）由（1）知：a +c ＜0，b ﹣c ＞0，c +b ＜0，

所以|a +c |+|b ﹣c |﹣|c +b |

＝﹣a ﹣c +b ﹣c +c +b ＝﹣a +2b ﹣c ．

故答案为：（1）,,,,,><<<>>；（2）﹣a+2b ﹣c

【变式训练2】已知，,,a b c 为ABC 的三边，化简2a b c b c a a b c -----++-．

【答案】-2a +4b -2c

【解析】|a -b -c |-2|b -c -a |+|a +b -c |=-（a -b -c ）+2（b -c -a ）+（a +b -c ）

=-a +b +c +2b -2c -2a +a +b -c =-2a +4b -2c ．

故答案为：-2a +4b -2c

【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．

（1）-a b _____0，a c +______0，b c -______0．（用“<”或“>”或“=”号填空） （2）化简：|||2||||2|a b b a c c +--+---

【答案】（1）>；<；>；（2）4-．

【解析】（1）由图可知，01a <<，1b <-，1c b <<-，

0a b ∴->，0a c +<，0b c ->；

（2）01a <<，1b <-，0a b ∴+<．||=-a b a b +-，

1b <-，20b ∴-<，|2|=2-b b -，

0c <，0a >，0a c ∴->，||=a c a c --，

1c <-，20c ∴->|2|=2-c c -，

故原式()(2)(2)a b b a c c =-++-+---22a b b a c c =--+-+--+4=-． 故答案为：（1）>；<；>；（2）4-．

类型五、双重绝对值的化简

例.已知3x <-，化简：|3|2|1|||x +-+

【答案】x -.

【解析】原式|3|2(1)|||3|3|||33|||x x x x x =+++=++=--==-.

故答案为：x -

【变式训练】如果20a b +=，则

||12||a a b b -+-的值是__________. 【答案】3.

【解析】由20a b +=，得12

a b =-.若0a >，则0b <， 原式111212322

a a

b b -+-=-+--=-，若0a <，则0b >， 原式111212322

a a

b b --+-=--+-=，综上得其值为3. 类型六、绝对值的非负性

例.已知有理数a 、b 满足2|3|(1)0a b -++=，则a b +=________．

【答案】2

【解析】2|3|(1)0a b -++=

3,1a b ∴==-，3(1)2a b ∴+=+-=

故答案为：2．

【变式训练1】若2(1)|3|0a b ++-=，则()b ab =________．

【答案】-27

【解析】∵2(1)|3|0a b ++-=，∴a +1=0，b -3=0，∴a =-1，b =3，∴37()(13)2b ab -=-=⨯，

故答案为：-27．

【变式训练2】若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．2020

D ．2021

【答案】A

【解析】∵a ，b ，c 均为整数，且|a -b |2021+|c -a |2020=1，

∴|a -b |=1，|c -a |=0或者|a -b |=0，|c -a |=1，

当|a -b |=1，|c -a |=0时，c =a ，1a b -=±，

所以|a -c |+|c -b |+|b -a |=|a -c |+|a -b |+|b -a |=0+1+1=2；

当|a -b |=0，|c -a |=1，a =b ，1,c a -=±

所以|a -c |+|c -b |+|b -a |=|a -c |+|c -a |+|b -a |=1+1+0=2；

综合可知：|a -c |+|c -b |+|b -a |的值为2．

故选：A ．

【变式训练3】如果2150x y x y -+++-=，则x 、y 的值分别是（ ） A ．10x y =-⎧⎨=⎩

B ．14x y =⎧⎨=⎩

C ．32x y =⎧⎨=⎩

D ．23x y =⎧⎨=⎩

【答案】C 【解析】∵2150x y x y -+++-=，∴21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ，解此方程组得：32

x y =⎧⎨=⎩． 故选：C ．

类型七、利用绝对值的性质求值

例.若|x |＝6，|y |＝7，且xy ＞0，那么x ﹣y 的值是（ ）

A ．13或﹣13

B ．﹣13或1

C ．﹣1或1

D ．﹣1或﹣13 【答案】C

【解析】∵|x |=6，|y |=7，∴x =±6，y =±7．又∵xy ＞0，∴x =6，y =7或x =-6，y =-7． 当x =6，y =7时，x -y =6-7=-1．当x =-6，y =-7时，x -y =-6-（-7）=1．

故选：C ．

【变式训练1】已知7x =，5y =，且0x y +>，那么x y -的值是（ ） A ．2或12 B ．2或12- C ．2-或12 D ．2-或1-

【答案】A 【解析】57,x y ==，7,5x y ∴=±=±，又0x y +>，75x y =⎧∴⎨=⎩或75

x y =⎧⎨=-⎩， 则752x y -=-=或()757512x y -=--=+=，

故选：A ．

【变式训练2】已知|x |＝1，|y |＝3，若||x y x y +=+，则x －y ＝____

【答案】-2或-4

【解析】∵|x |＝1，|y |＝3，∴x =±1，y =±3，

∵x y x y +=+，∴x +y ＞0，又∵|x |＜|y |，∴x =1，y =3或x =-1，y =3，

当x =1，y =3时，x －y ＝1-3=-2；当x =-1，y =3时，x －y ＝-1-3=-4．

综上，当|x |＝1，|y |＝3，而且x y x y +=+时， x －y ＝-2或-4．

故答案为：-2或-4．

【变式训练3】已知3a =，2=b ，且a b b a -=-，则a -b=________．

【答案】1-或5-

【解析】因为||a b b a -=-，所以b a ≥，因为||3a =，||2b ，所以3a

=-，2b =±， 当3a

=-，2b =时，325a b -=--=-， 当3a =-，2b =-时，()321a b +=---=-．综上所述：1a b -=-或5-．

故答案为：1-或5-．

类型八、绝对值的几何意义应用

例1.在学习有理数时时我们清楚，3(1)--表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x 一5|也可以理解为x 与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．

（1）分别计算8(3)--，35--的值．

（2）如图，x 是1到2之间的数(包括1，2)，求123x x x -+-+-的最大值．

【答案】（1）11；8；（2）3．

【解析】（1）8(3)8311--=+=；3588--=-=

（2）当12x ≤≤时，10,20,3x x x ∴-≥-≤-＜0,

∴ 123x x x -+-+-1234x x x x =-+-+-=-

当x =1时，原式的最大值为3．

故答案为：（1）11；8；（2）3．

例2.已知点M ，N 在数轴上分别表示m ，n ，动点P 表示的数为x ．

（1）填写表格：

（2）由表可知，点M ，N 之间的距离可以表示为m n -，则2x -可以看成是表示为x 的数到2的距离，若数轴上表示数x 的点位于2与6-之间（包含2和6-），那么

①()26x x -+--=_______．

②126x x x -++++的最小值=_______．

（3）12399100x x x x x -+++-++-++的最小值=________．

【答案】（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050

【解析】（1）2-（-3）=5，（-2）-（-5）=3，

填表如下：

（2）①()26x x -+--表示数轴上x 到2和x 到-6的距离之和，

∴()()26268x x -+--=--=；

②126x x x -++++表示数轴上x 到1和x 到-2以及x 到-6的距离之和，

∵表示数x 的点位于2与-6之间（包含2和-6），

∴当x 与-2重合时，126x x x -++++最小，即为1-（-6）=7；

（3）12399100x x x x x -+++-++-++表示数轴上x 分别到1，-2，3，-4，...，99，-100的距离之和，∴当x =()991002+-=12-时，取最小值， 最小值为111111239910022222

--+-++--++--+-+ =()1.5 3.5 5.5...99.52++++⨯=5050．

故答案为：（1）见解析；（2）①8；②7；（3）5050

【变式训练1】32x x -++的最小值是______；326x x -++=，则x=_________

【答案】5 3.5或-2.5

【解析】当x≥3，|x －3|＋|x ＋2|＝x －3＋x ＋2＝2x －1，当x=3时取得最小值5；

当－2＜x ＜3，|x －3|＋|x ＋2|＝3－x ＋x ＋2＝5，

当x≤－2，|x －3|＋|x ＋2|＝3－x －x －2＝1-2x ，当x=-2时取得最小值5.

∴32x x -++的最小值是5.

当x≥3时，∵326x x -++=，∴2x -1=6，解得x=3.5.

当x≤－2，∵326x x -++=，∴1-2x=6，解得x=-2.5.

所以第一个空填：5，第二个空填：3.5或-2.5.

【变式训练2】当x=_____时，|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值为___________．

【答案】1 4036

【解析】根据题意，

∵|x -a|表示x 到a 的距离，

∴|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值，则 最小数为：2017-，最大数为：2019，

∴当2017201912

x -+==时，式子|x -1|+|x+2017|+|x -2019|有最小值， 最小值为：111201712019=020182018=4036-+++-++；

故答案为：1；4036.

【变式训练3】若015p <<，则代数式()1515x p x x p -+-+-+在15p x ≤≤的最小值是( ) A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的整式

【答案】C

【解析】∵15p x ≤≤，∴x -p≥0，x -15≤0，x -p -15≤0， ∴()1515=151530x p x x p x p x p x x -+-+-+-+-++-=-

故当x=15时，()1515x p x x p -+-+-+的最小值为30-15=15，

故答案为C.