受弯构件的正截面受弯承载力

受弯构件：指截面上通常有弯矩和剪力共同作用而轴力可以忽略不计的构件。比如下图所示，梁和板是典型的受弯构件。它们是土木工程中数量最多、使用面最广的一类构件。

梁和板的区别在于梁的截面高度一般大于其宽度，而板的截面高度则远小于其宽度。混凝土梁、板按施工方法分为现浇式和预制式；按配筋方式分为单筋截面（仅在受拉区配置钢筋，受压区可配置构造筋，比如架立筋）和双筋截面（受拉区受压区均配置纵向受力钢筋）。

受弯构件在荷载作用下可能发生两种破坏。当受弯构件沿弯矩最大的截面发生破坏，破坏截面与构件的纵轴线垂直，称为沿正截面破坏。 

当受弯构件沿剪力最大或弯矩和剪力都较大的截面发生破坏，破坏截面与构件的纵轴线斜交，称为沿斜截面破坏。

因此受弯构件需要进行正截面承载力和斜截面承载力计算，正截面受弯承载力的计算目的是计算配置纵向受拉钢筋，而斜截面承载力的计算是配置箍筋和弯起钢筋，本章只讲述受弯构件的正截面承载力计算，而受弯构件的斜截面承载力计算将在第4章中介绍。

依据梁和板满足承载能力的计算表达式：  

M—受弯构件正截面的弯矩设计值，即外荷载弯矩设计值。

Mu—受弯构件正截面受弯承载力设计值，即构件破坏时，截面所能承受的极限弯矩，于构件的组成材料有关。

3.1.梁、板的一般构造

3.1.1.截面形式与尺寸

1、截面形式

受弯构件常用矩形、T形、 I字形、环形、槽形板、空心板等对称截面和倒L形等不对称截面，矩形截面常用于荷载小和跨度小的情况，T形、 I字形和箱型常用于荷载和跨度都比较大的情况，另外箱型截面还具有抗扭刚度大（剪切模量和抗扭惯性矩的乘积）的特点。

截面以中和轴为界限，分为受压区和受拉区两个部分。中和轴：混凝土结构构件正截面上法向应力等于零的轴线。

2、梁、板的截面尺寸

梁高与跨度之比h / l称为高跨比。对于肋形楼盖的主梁为1/8~1/14，次梁为1/12~1/18；梁不小于1/15（简支）和1/20（连续）；对于一般铁路桥梁为1/6~1/10，公路桥梁为1/10~1/18。

矩形截面梁的高宽比h / b一般取2.0～3.5；T形截面梁的h / b一般取2.5～4.0 (此处b为梁肋宽)。

单向板和双向板

两边支撑的板按单向板计算，

四边支撑的板按下列计算：

1）当板的长、短边之比小于等于2时，宜按双向板计算。

2）当板的长、短边之比大于2小于3时，宜按双向板计算，当按短边受力的单向板计算时，应沿长边布置足够得构造钢筋。

3）当板的长、短边之比大于3时，可按沿板的短边方向受力的单向板计算。

    无梁楼板：楼板层不设梁，直接将板支承于柱上，多用于楼面荷载较大的展览馆、商店、仓库等建筑。 

　　是一种双向受力的板柱结构。为了提高柱顶处平板的受冲切承载力，往往在柱顶设置柱帽。无梁楼板采用的柱网通常为正方形或接近正方形，这样较为经济。通常采用的柱网尺寸为6m左右。

3.1.2.材料选择与一般构造

1、混凝土强度等级和保护层厚度

梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C25、C30、C35、C40等，

2、钢筋强度等级及常用直径

   （1）梁的钢筋强度等级和常用直径

1）梁的纵向受力钢筋

梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400或RRB400和HRB335，常用钢筋直径为10mm~32mm.，根数不得少于2根。梁内受力钢筋的直径宜尽可能相同。设计中若采用两种不同直径的钢筋，钢筋直径相差至少2mm，以便于在施工中能用肉眼识别，但相差也不宜超过6mm。

2）腹筋

A、箍筋

梁的箍筋宜采用HPB235 (Ⅰ级)、HRB335(Ⅱ级)和HRB400(Ⅲ级)的钢筋，常用直径是6mm、8mm和10mm。除抵抗斜截面上的部分剪应力外，还有固定纵筋位置以形成钢筋骨架，保证受拉区和受压区的良好联系及保证受压钢筋稳定性的作用。

B、斜筋（弯起钢筋）

斜筋通常有富余的纵筋弯起而成，以抵抗斜截面上的剪力，当富余纵筋弯起不足以抵抗剪力时，也可以另外加设钢筋。

3）纵向构造钢筋

A、架立钢筋

为了固定箍筋并与纵向受力钢筋形成骨架，在梁的受压区应设置架立钢筋。梁内架立钢筋的直径，当梁的跨度< 4m时，不宜小于8mm；当梁的跨度=4~6m时，不宜小于10mm；当梁的跨度> 6m时，不宜小于12mm。

B、梁侧腰筋

由于混凝土收缩量的增大，近年在梁的侧面产生收缩裂缝的现象时有发生。裂缝一般呈枣核状，两头尖而中间宽，向上伸至板底，向下至于梁底纵筋处，截面较高的梁，情况更为严重。

《规范》规定，当梁的腹板高度hw≥450mm时，在梁的两个侧面沿高度配置纵向构造钢筋（腰筋）。每侧纵向构造钢筋(不包括梁上、下部受力钢筋及架立钢筋)的截面面积不应小于腹板截面面积bhw 的0.1％，且其间距不宜大于200mm。此处腹板高度hw ：矩形截面为有效高度h0；对T形截面，取有效高度h0减去翼缘高度；对工形截面，取腹板净高。

（2）板的钢筋强度等级及常用直径

1）板的受拉钢筋

受拉钢筋：在结构中以力学方向起到拉伸的钢筋，沿跨度方向布置。

板的纵向受力钢筋常用HRB335 (Ⅱ级)和HRB400 (Ⅲ级)钢筋，直径通常采用6mm~12mm；当板厚较大时，钢筋直径可用14mm~18mm。为了便于浇注混凝土，保证钢筋周围混凝土的密实性，板内钢筋间距不宜太密；为了使板能正常的承受外荷载，也不宜过稀；钢筋的间距一般为70～200mm，如图3-7所示。当板厚h≤150mm时，不宜大于200mm；当板厚h>150mm，不宜大于1.5h，且不宜大于250mm。

2）板的分布钢筋

分布钢筋：在单向板和梁的翼缘板和顶板中，垂直于板或梁的受力方向上设置的构造钢筋。其作用是将作用于板或梁上的荷载更均匀的传给受力钢筋，同时在施工中可通过绑扎或点焊固定主钢筋的位置，并用来抵抗温度应力和混凝土收缩应力。分布筋要布置在受拉筋的内侧。

分布筋的作用：一、将板面荷载均匀地传递给受力钢筋，二、承受部分荷载，抵抗混凝土的收缩、温度应力，三、固定受拉钢筋的位置。

分布钢筋宜采用HPB235 (Ⅰ级)和HRB335 (Ⅱ级)的钢筋，常用直径是6mm和8mm。单位长度上分布钢筋的截面面积不宜小于单位宽度上受力钢筋截面面积的15％，且不宜小于该方向板截面面积的0.15％；分布钢筋的间距不宜大于250mm，直径不宜小于6mm；对集中荷载较大或温度变化较大的情况，分布钢筋的截面面积应适当增加，其间距不宜大于200mm。

（3）纵向受拉钢筋的配筋率

设正截面上所有纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离为，合力点到受压区边缘的竖向距离为。见下表计算

3、混凝土保护层厚度

纵向受力钢筋（受拉的、受压的）的外表面到截面边缘的垂直距离。

混凝土保护层有三个作用：（1）防止纵向钢筋锈蚀；（2）在火灾等情况下，使钢筋

的温度上升缓慢；（3）使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结。保护层厚度见附表4-4

b—截面宽度；

      h—截面高度； 

      As—纵向受力钢筋截面面积；

—从受压边缘至纵向受力钢筋截面重心的距离为截面的有效高度；

—截面宽度与截面有效高度的乘积为截面的有效面积；

—构件的截面配筋率是指纵向受力钢筋截面面积与截面有效面积之比。

即：        

3.2.受弯构件正截面的受弯性能

3.2.1.适筋梁正截面受弯的三个受力阶段

1、适筋梁正截面受弯承载力的实验

为了研究梁正截面受力和变形的规律，试验梁采用两点对称加载。荷载是逐级施加的，由零开始直至梁正截面受弯破坏。若忽略自重的影响，在梁上两集中荷载之间的区段，梁截面仅承受弯矩，该区段称为纯弯段。为了研究分析梁截面的受弯性能，在纯弯段沿截面高度布置了一系列的应变计，量测混凝土的纵向应变分布。同时，在受拉钢筋上也布置了应变计，量测钢筋的受拉应变。此外，在梁的跨中，还布置了位移计，用以量测梁的挠度变形。

2、适筋梁正截面受弯的三个受力阶段（未裂阶段、裂缝阶段和破坏阶段）

1） 第Ⅰ阶段：混凝土开裂前的未裂阶段

　　刚开始加荷时，混凝土梁整个截面均参加受力。由于荷载较小，混凝土处于弹性阶段，截面应变分布符合平截面假定，故截面应力分布为直线变化，整个截面的受力接近线弹性。

随着荷载的增加，当截面受拉边缘混凝土的拉应变达到极限拉应变时，截面达到即将开裂的临界状态(Ⅰa状态)，相应弯矩值称为开裂弯矩。此时，截面受拉区混凝土出现明显的受拉塑性，应力呈曲线分布，并且曲线不断向中和轴发展，但受压区压应力较小，仍处于弹性状态，应力为直线分布。

第Ⅰ阶段末（Ⅰa状态）可作为受弯构件抗裂度的计算依据。

2.）第Ⅱ阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段

截面受力达Ⅰa阶段后，即，在抗拉能力最薄弱的截面上，荷载只要稍许增加截面立即开裂。

开裂后，截面上应力发生重分布，裂缝处混凝土不再承受拉应力，钢筋的拉应力突然增大，受压区混凝土应变的增长速度比应力增长速度快，出现明显的塑性变形，这种受力阶段称为第Ⅱ阶段。应变沿截面高度的变化规律仍能符合平截面假定（垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面，并且同变形后的杆件轴线垂直。）。

荷载继续增加，裂缝进一步开展，钢筋和混凝土的应力不断增大。当荷载增加到某一数值时，受拉区纵向受力钢筋开始屈服，钢筋应力达到其屈服强度，弯矩记为，也称为屈服弯矩。这种特定的受力状态称为Ⅱ阶段。

第Ⅱ阶段相当于梁使用时的应力状态，可作为使用阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据。

 3）第Ⅲ阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段

    受拉区纵向受力钢筋屈服后，截面承载力无明显的增加，但塑性变形急速发展，裂缝迅速开展并向受压区延伸，中和轴迅速上移，受压区面积减小，受压区混凝土压应力迅速增大，受压区压应力图形更趋丰满，这是截面受力的第Ⅲ阶段。

在弯矩达到时，裂缝进一步急剧开展，受压区混凝土出现纵向裂缝，混凝土被完全压碎，这种特定的受力状态称为第Ⅲa阶段。在第Ⅲ阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力基本不变，但由于中和轴的上升，内力臂Z略有增加，故截面受弯承载力实验值略大于屈服弯矩 

第Ⅲ阶段末（Ⅲa状态）可作为正截面受弯承载力计算的依据。

简要分析课本表3-2

纠正课本三种错误的认识1）第Ⅰ阶段为未裂阶段，混凝土既有弹性变形，也有塑形变形；2）混凝土达到抗拉强度就开裂，不对，达到极限抗拉应变（）后继续加载就开裂。3）混凝土达到抗压强度后就压碎，不对，达到极限抗压强度（）后继续加载就被压碎。

上节小结：

基本概念：受弯构件（弯矩（正截面受弯））、剪力和弯矩（斜截面剪弯计算）

本章目的：配置纵向受力钢筋

1、梁板的一般构造（截面形式及截面尺寸（高宽比））依据规范进行选择。

2、混凝土以及钢筋等级的选择：

1）提高混凝土等级强度对增大受弯构件正截面受弯承载力的作用不显著。

2）纵向受力钢筋

梁上部纵向钢筋的水平净间距（钢筋外边缘的最小距离）不应小于30mm和1.5d（d为钢筋的最大直径）；下部纵向钢筋水平方向的净间距不应小于25mm和d。梁下部纵向钢筋配置多于两层时，两层以上钢筋水平方向的中距应比下面两层的中距增大一倍，多层钢筋之间的净间距不应小于25mm和d。上、下层钢筋应对齐，不应错列，以方便混凝土的浇捣。

腹筋（箍筋和晚期钢筋）：箍筋的作用，抵抗斜截面上的部分剪应力，另外固定纵筋位置以形成钢筋骨架，保证受拉区和受压区的良好联系及保证受压钢筋稳定性的作用。

弯起钢筋：斜筋通常有富余的纵筋弯起而成，以抵抗斜截面上的剪力，当富余纵筋弯起不足以抵抗剪力时，也可以另外加设钢筋。

纵向构造钢筋（架立钢筋、梁侧腰筋）架立筋：为了固定箍筋并与纵向受力钢筋形成骨架，在梁的受压区应设置架立钢筋。梁侧腰筋：防止由于混凝土收缩量的增大，在梁侧面产生的收缩裂缝。

板只是受力筋和分布筋的布置：受力筋沿着跨度方向。分布筋的作用就是把荷载更均匀的传给受力钢筋，通过绑扎和点焊固定主筋，并用于抵抗温度应力和混凝土收缩应力。

3）配筋率：正截面上所有纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离为，，，一般情况下，对梁取c＝25mm，取=35mm(单排)、60mm(双排)。对板取c＝15mm，＝20mm。

4）保护层的作用：1、防止钢筋锈蚀2、在火灾的时候，使钢筋的温度上升比较慢3、更好的使混凝土和钢筋粘结在一起。

3、受弯构件正截面的受弯的三个受力阶段（未裂阶段、裂缝阶段和破坏阶段）：

1）开始加荷时，混凝土梁整个截面均参加受力。由于荷载较小，截面应力分布为直线变化，截面的受力接近线弹性。

随着荷载的增加，当截面受拉边缘混凝土的拉应变达到极限拉应变时，截面达到开裂弯矩。此时，截面受拉区混凝土出现明显的受拉塑性，应力呈曲线分布，并且曲线不断向中和轴发展，但受压区压应力较小，仍处于弹性状态，应力为直线分布。

第Ⅰ阶段末（Ⅰa状态）可作为受弯构件抗裂度的计算依据。

2）截面受力达Ⅰa阶段后，即，在抗拉能力最薄弱的截面上，荷载只要稍许增加截面立即开裂。

开裂后，截面上应力发生重分布，裂缝处混凝土不再承受拉应力，钢筋的拉应力突然增大，受压区混凝土应变出现明显的塑性变形，这种受力阶段称为第Ⅱ阶段。应变沿截面高度的变化规律仍能符合平截面假定（纵向应变沿截面高度成线性分布，并且同变形后的杆件轴线垂直。）。

荷载继续增加，裂缝进一步开展，钢筋和混凝土的应力不断增大。当受拉区纵向受力钢筋屈服弯矩达到时，这种特定的受力状态称为Ⅱ阶段。

第Ⅱ阶段相当于梁使用时的应力状态，可作为使用阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据。

3）受拉区纵向受力钢筋屈服后，截面承载力无明显的增加，但塑性变形急速发展，裂缝迅速开展并向受压区延伸，中和轴迅速上移，受压区面积减小，受压区混凝土压应力迅速增大，受压区压应力图形更趋丰满，这是截面受力的第Ⅲ阶段。

在弯矩达到时，裂缝进一步急剧开展，受压区混凝土出现纵向裂缝，混凝土被完全压碎，这种特定的受力状态称为第Ⅲa阶段。在第Ⅲ阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力基本不变，但由于中和轴的上升，内力臂Z略有增加，故截面受弯承载力实验值略大于屈服弯矩 

第Ⅲ阶段末（Ⅲa状态）可作为正截面受弯承载力计算的依据。

3.2.2.正截面受弯的三种破坏形态

（1）适筋梁破坏    

当配筋适中时，即（、分别为纵向受拉钢筋的最小配筋率、界限配筋率）发生适筋梁破坏，其特点是纵向受拉钢筋先屈服，然后随着弯矩的增加受压区混凝土被压碎，破坏时两种材料的性能均得到充分发挥。

适筋梁的破坏特征：

1) 受拉钢筋先达到屈服强度，经过一段塑性变形后，受压区混凝土被压碎，截面即告破坏。

    2) 梁破坏前，带有明显的破坏预兆—延性破坏

    3) 梁破坏时，钢筋和混凝土这两种材料都能被充分利用，故在实际工程的设计中，一般都要设计为适筋梁。

（2）超筋梁破坏

当配筋过多，即时发生超筋破坏，其特点是混凝土受压区先压碎，纵向受拉钢筋不屈服。

超筋梁的破坏特征：

1) 由于比较大，在受压区混凝土被压碎时，钢筋仍处于弹性工作阶段，裂缝开展不宽，延伸不高，梁的挠度亦不大。

    2) 截面破坏时，没有明显预兆，突然破坏—脆性破坏。

    3) 梁发生超筋破坏时，混凝土被压碎，但由于梁破坏时其钢筋应力低于屈服强度，不能充分发挥作用，造成钢材的浪费。这不仅不经济，而且破坏前没有预兆，故设计中不允许采用超筋梁。

（3）少筋梁破坏

当配筋过少，即时发生少筋破坏形态。

少筋梁的破坏特征：

1）一旦开裂，受拉钢筋立即达到屈服强度，有时可迅速经历整个流幅而进人强化阶段，在个别情况下，钢筋甚至可能被拉断。

2）少筋梁破坏时，裂缝往往只有一条，不仅裂缝开展过宽，且沿梁高延伸较高，即已标志着梁的“破坏”。

    3) 少筋梁的承载力低，且不能充分发挥混凝土的抗压强度，故在实际工程的设计中应予避免。

3.2.3.界限破坏及界限配筋率

比较适筋梁和超筋梁的破坏特点，可以发现两者的差异在于：前者破坏始自受拉钢筋屈服；后者破坏则始自受压区混凝土被压碎。显然，总会有一个界限配筋率，这时钢筋应力达到屈服强度的同时，受压区边缘纤维应变也恰好达到混凝土受弯时极限压应变值，这种破坏形态叫“界限破坏”，即适筋梁与超筋梁的界限。界限配筋率即为适筋梁的最大配筋率。界限破坏也属于延性破坏类型，所以界限配筋的梁也属于适筋梁的范围。可见，梁的配筋率应满足的要求。

3.3.正截面受弯承载力计算原理

3.3.1.正截面承载力计算的基本假定

1、截面应变保持平面：

    定义：截面上任意一点的应变与该点到中和轴的距离成正比，即截面上的应变为线性分布。

    截面未开裂前，符合平截面假定；

    截面开裂后，就裂缝截面而言—不符合平截面假定   

    但大量试验表明：如果以一定标距内的平均应变代替裂缝截面处的应变，基本上还是符合平截面假定的。

    平截面假定是建立承载力计算公式的依据。

2、不考虑混凝土的抗拉强度：

由于混凝土的抗拉强度很小，且其合理作用点离中和轴较近，内力距的力臂很小。

3、受压时混凝土的本构关系：

 当εc≤ε0时(上升段)

   （3-3）

当ε0＜εc≤εcu时（水平段）

              （3-4）

    ≤2.0                                        （3-5）

   ≥0.002                              （3-6）

   ≤0.0033                              （3-7）

式中 ——混凝土压应变为εc时的混凝土压应力；

     fc——混凝土轴心抗压强度设计值，按附表1采用；

    ε0——混凝土压应力刚达到fc时的混凝土压应变，当计算的ε0值小于0.002时，取为0.002；

    εcu——正截面的混凝土极限压应变，当处于非均匀受压时，按上式计算，如计算的εcu值大于0.0033时，取为0.0033 ；当处于轴心受压时取为ε0；

   ——混凝土立方体抗压强度标准值；

n——系数，当计算的n值大于2.0时，取为2.0。

4、纵向钢筋的本构关系：

纵向钢筋的应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其绝对值不应大于其相应的强度设计值。纵向受拉钢筋的极限拉应变取为0.01，钢筋的应力-应变关系曲线方程为： ，且 

受拉钢筋的极限拉应变取为0.01是为了避免过大的塑性变形。 对有屈服点的钢筋，它相当于钢筋应变进入了屈服台阶；对没有屈服点的钢筋，则是它的强化程度。另一方面，这个规定也要求纵向受拉钢筋的均匀伸长率不得小于0.01，以保证结构构件和正截面具有必要的延性。

3.3.2.受压区混凝土的压合力的合力及其作用点

—混凝土压应力—应变曲线所围的面积

—为混凝土压应力—应变所围面积的形心到坐标原点o的距离

令  

只取决于混凝土受压应力—应变曲线的形状，因此称为混凝土受压应力—应变曲线系数

—中和轴高度，即受压区的理论高度

—合力C到中和轴的距离，y为受压区压应力的理论应力图形中，任一纤维到中和轴的距离，y=0~

受压区混凝土压应力的合力：                      （3-11）

合力C到中和轴的距离：          （3-12)

根据平截面假定  带入以上两式

3.3.3.等效矩形应力图

由于正截面抗弯计算的主要目的只是为了建立极限弯矩Mu的计算公式，从理论应力图求Mu很繁杂，而在Mu的计算中仅需知道合力C的大小和作用位置就足够了。为此，《规范》对于非均匀受压构件，如受弯、偏心受压和大偏心受拉等构件的正截面受压区混凝土的应力分布进行简化，即用等效矩形应力图来代换理论应力图3-15（d）。 

两个图形等效的条件

（1）混凝土压应力的合力C大小相等； 

（2）两图形中受压区合力C的作用点不变。

等效矩形应力图的应力值为，高度为x=，可见仅与混凝土应力-应变曲线有关，称为等效矩形应力图系数，—是受压区混凝土矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比值；—矩形应力图受压区高度x与中和轴高度的比值，依据表3-5知，混凝土强度等级不大于时，。

基本假定：截面应变保持平面；不考虑混凝土的抗拉强度；混凝土的本构关系，钢筋的本构关系。

受压区混凝土的压应力的合力及其作用点，作用点到中和轴的距离就是压力区的形心到中和轴的距离

在理论受压区高度的情况下，构件纵向应变沿截面高度才成线性关系，才推导出的压应力合力及合力点。

等效矩形应力图的等效条件：合力值相等和作用点位置不变

3.3.4.适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率

相对界限受压区高度，是指在适筋梁的界限破坏时，等效矩形应力图的受压区高度与截面有效高度的比值，即。界限破坏的特征是受拉纵筋应力达到屈服强度的同时，混凝土受压区边缘纤维应变恰好达到受弯时极限压应变值。根据平截面假定，正截面破坏时，不同压区高度的应变变化如图所示，中间斜线表示为界限破坏的应变。由图中可以看出，破坏时的相对受压区高度越大，钢筋拉应变越小。设钢筋开始屈服时的应变为，则。

—相对界限受压区高度， 

    —界限受压区高度；

    —截面有效高度；

—界限破坏时中和轴高度；

—普通钢筋抗拉强度设计值；

 Es—钢筋的弹性模量；

由上图可知：

当时，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋已经达到屈服，表明发生的破坏为适筋梁破坏或少筋梁破坏。

当时，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋不屈服，表明发生的破坏为超筋梁破坏。

当时，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋刚屈服，表明发生的破坏为界限破坏。与此对应的纵向受拉钢筋的配筋率，称为界限配筋率，即为适筋梁的最大配筋率

依据截面力的平衡：

3.3.5.最小配筋率

少筋破坏的特点是一裂就坏，而最小配筋率是适筋梁与少筋梁的界限配筋率。从理论上讲，最小配筋率是按Ⅲa阶段计算钢筋混凝土受弯构件的极限弯矩等于按Ⅰa阶段计算的同截面素混凝土受弯构件的开裂弯矩确定的。即。

    最小配筋率的计算是：，适筋梁的配筋率要大于

3.4.单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算

3.4.1.基本计算公式及适用条件

1、基本计算公式

由力的平衡条件得： 

由力距平衡条件得： 

采用相对受压区高度  ，上式可写成：

2、适用条件

（1）（）或——防止发生超筋脆性破坏

（2）   ——防止发生少筋脆性破坏

当时，由式(3-21b)可得单筋矩形截面的最大受弯承载力为：

  ——截面抵抗距系数   

所以当时，可按单筋截面设计。

根据我国设计经验，梁的经济配筋率范围约为0.5%一1.6%，板的经济配筋率范围约为0.4%一0.8%。这样的配筋率远小于最大配筋率，既节约钢材，又降低成本，且可防止脆性破坏。

3.4.2.截面承载力计算的两类问题

截面设计：

截面设计是指根据截面所承受的弯矩设计值M选定材料、确定截面尺寸，计算配筋量。设计时，应满足。为了经济起见，一般按进行计算。已知：弯矩设计值M、截面尺寸b×h、混凝土和钢筋的强度等级，求受拉钢筋截面面积。计算的一般步骤如下：

（1）由式、  计算；

（2）若，则由式计算，选择钢筋；

（3）验算最小配筋率；

在以上的计算中若，说明截面过小，会形成超筋梁，应加大截面尺寸或提高混凝土强度等级，或改用双筋截面。

截面复核：

截面复核是在截面尺寸、截面配筋以及材料强度已给定的情况下，要求确定该截面的受弯承载力，并验算是否满足的要求。若不满足承载力要求，应修改设计或进行加固处理。这种计算一般在设计审核或结构检验鉴定时进行。

如果计算发现，则该受弯构件认为是不安全的，应修改设计或进行加固。已知：弯矩设计值M、截面尺寸b×h 、混凝土和钢筋的强度等级、受拉钢筋的面积，求受弯承载力Mu 。

计算的一般步骤如下：

（1）计算  ，；

（2）由式（3-12a）得；

（3）若，则或；

（4）若，则取，  ；

（5）当时，构件截面安全，否则为不安全。

当过多时，该截面设计不经济。也可以按基本计算公式求解，更为直观。

3.4.3.正截面受弯承载力的计算系数与计算方法

                                       (3-21a)

                                 (3-21b)

或                                 (3-21c)

        由式(3-21b)可知：

                                              (3-24a)

       将式(3-24a)代入式(3-21b)

                                                (3-24b)

——截面抵抗矩系数。

由式(3-24a)可知：

                                              (3-24c)

由式(3-21a)可知：

                                               (3-24d)

由式(3-21c)可知： 

                                                  (3-24e)

      将式(3-24e)代入式(3-21c)

则：                                              (3-24f)

——内力臂系数

    将式(3-24e)代入式(3-24c),则：

                                                   （3-24g）

所以，由式(3-24b)求出后，就可由相应的式(3-24c)和（3-24g）求出系数、或由附表12查出系数、，再利用式(3-24d)或(3-24f)求出受拉钢筋面积并验算公式的适用条件，使正截面受弯承载力的计算得到解决。

例3-1 已知矩形梁截面尺寸b×h＝250mm×500mm，弯矩设计值M=150kN·m，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB335级，环境类别为一类，结构的安全等级为二级。求所需的受拉钢筋截面面积。

解：（1）设计参数

C30混凝土，附表1查得：fc=14.3N/mm2 、ft=1.43N/mm2、α1=1.0 ，环境类别为一类，附表8查得c=25mm， a=35mm ，h0=500-35=465mm ，HRB335级钢筋，附表3查得fy=300 N/mm2 ，表3-4查得ξb=0.55 。 

（2）计算系数αs 、ξ

由式(3-24b)、(3-24c)计算：

 ，满足适筋要求。

（3）计算配筋

由式(3-24d) 计算：

选用 4  20 ， As=1256mm2  

（4）验算最小配筋率ρ1

同时ρ1＞0.2% 满足要求。

（5）验算配筋构造要求

钢筋净间距=  ，满足要求。

                题3-1                            题3-2

例3-2 已知矩形截面梁b×h＝250mm×500mm，承受弯矩设计值M=160kN·m ，混凝土强度等级为C20，钢筋采用HRB400级，环境类别为一类，结构的安全等级为二级。截面配筋如图3-20所示，试复核该截面是否安全。

解：（1）设计参数

C20混凝土，附表1查得：fc=9.6N/mm2 、 ft=1.1N/mm2 、α1=1.0 ，环境类别为一类，附表8查得c=30mm， a=30+20/2=40mm ， h0=500-40=460mm ， HRB400级钢筋，附表3查得fy=360 N/mm2 ，表3-4查得ξb=0.518，420 ， AS=1256mm2  。

   （2）验算最小配筋率ρ1

同时ρ1＞ 0.2% 满足要求。

（3）计算受压区高度x

由式(3-20a)得：

，满足适筋要求。

    （4）计算受弯承载力Mu

由式(3-20c)计算：

满足受弯承载力要求。

3.5.

双筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算

3.5.1.采用双筋截面的条件

（1）弯矩很大，同时按单筋矩形截面计算所得的ξ又大于ξb ，而梁截面尺寸受到，混凝土强度等级又不能提高时；

   （2）在不同荷载组合情况下，梁截面承受异号弯矩。

此外，配置受压钢筋可以提高截面的延性，因此在抗震结构中要求框架梁必须配置一定比例的受压钢筋。

由于受压钢筋在纵向压力作用下易产生压曲而导致钢筋侧向凸出，将受压区保护层崩裂，从而使构件提前发生破坏，降低构件的承载力。为此，必须配置封闭箍筋防止受压钢筋的压曲，并其侧向凸出。为保证有效防止受压钢筋的压曲和侧向凸出，《规范》规定箍筋的间距s不应大于15倍受压钢筋最小直径和400mm；箍筋直径不应小于受压钢筋最大直径的1／4。上述箍筋的设置要求是保证受压钢筋发挥作用的必要条件。

3.5.2.计算公式与适用条件

1、纵向受压钢筋抗压强度的取值

    试验表明，双筋截面破坏时的受力特点与单筋截面相似，只要满足ξ≤ξb时，双筋矩形截面的破坏也是受拉钢筋的应力先达到抗拉强度fy（屈服强度），然后，受压区混凝土的应力达到其抗压强度，具有适筋梁的塑性破坏特征。这时，受压区混凝土的应力图形为曲线分布，边缘纤维的压应变已达极限压应变εcu。因此，在建立截面受弯承载力的计算公式时，受压区混凝土仍可采用等效矩形应力图形。由于受压区混凝土塑性变形的发展，受压钢筋的应力一般也将达到其抗压强度，其推导如下：如图3-24所示 

图3-24 双筋截面中受压钢筋的应变和应力

双筋梁破坏时，受压钢筋的应力取决于它的应变，设为达到极限弯矩Mu时的受压钢筋的应力 。

∵   

又  ∵      ，     则 

∴       ，令

∴     

 当 时，，由表3-3可知：

则：

对于受压钢筋为HPB235级、HRB335级、HRB400级、及RRB400级钢筋时，其压应力已达到抗压强度设计值，即取，其先决条件应满足： 

当不满足上式时，则表明受压钢筋的位置离中和轴太近，受压钢筋的应变太小，以致其应力达不到抗压强度设计值。

2、计算公式及适用条件

（1）计算公式

双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算简图如课本图3-19所示。

分析公式（3-25a）和（3-25b）可以看出，双筋矩形截面受弯承载力设计值Mu可分为两部分。第一部分是由受压区混凝土和相应的一部分受拉钢筋As1所形成的承载力设计值Mu1 (图3-25b) ，相当于单筋矩形截面的受弯承载力；第二部分是由受压钢筋和相应的另一部分受拉钢筋As2所形成的承载力设计值Mu2 (图3-25c)，即：

                               (3-25c)

                                  (3-25d)

对第一部分(图3-25b)，由平衡条件可得：

                                                  (3-25e)

                                           (3-25f)

对第二部分(图3-25c)，由平衡条件可得：

                                  (3-25g)

                            (3-25h)

（2）适用条件

     1）  ——防止发生超筋脆性破坏

2）——保证受压钢筋达到抗压强度设计值

双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。

3.5.3.计算方法

  1、截面设计

在双筋截面的配筋计算中，可能遇到下列两种情况。

（1）已知：弯矩设计值M、截面尺寸b×h、混凝土和钢筋的强度等级，求受压钢筋面积和受拉钢筋面积。

在计算公式中，有、’及x三个未知数，还需增加一个条件才能求解。为取得较经济的设计，应使总的钢筋截面面积（）为最小的原则来确定配筋，则应充分利用混凝土的强度。

计算的一般步骤如下：

1）令：，代入计算公式(3-25b)，则有：

2）                     （3-26）

3）由式(3-25a)得               （3-27） 

（2）已知：弯矩设计值M、截面尺寸b×h、混凝土和钢筋的强度等级、受压钢筋面积，求受拉钢筋面积。

在计算公式中，有及x两个未知数，该问题可用计算公式求解，也可用公式分解求解。

A 计算公式求解：

由式（3-25b）可知，

令，

由  可推出x的表达式（3-28）。

计算的一般步骤如下：

1）                         （3-28）

2）当时 ，由式(3-25a)得        （3-29）

3）当时，则取，                 （3-30）

4）当时，则说明给定的受压钢筋面积太少，此时按和未知计算；

B 公式分解求解：

计算的一般步骤如下：

1）由式(3-25h)计算；                          

2）由式(3-25c)得；

3），，；

4）当时，由式(3-25a) 得；  

5）当时，则取，  ；                

6）当时，则说明给定的受压钢筋面积太少，此时按和未知计算。

2．  截面复核     

已知：弯矩设计值M、截面尺寸b×h、混凝土和钢筋的强度等级、受压钢筋面积和受拉钢筋面积，求受弯承载力Mu 。

计算的一般步骤如下：

（1）由式(3-25a)得                    

（2）当时，由式(3-25b)计算；

（3）当时，取，；

(4) 当时，则说明双筋梁的破坏始自受压区，取，  ；

（5）当时，构件截面安全，否则为不安全。

例3-4已知矩形梁的截面尺寸b×h＝250mm×500mm，承受弯矩设计值M=300kN·m，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400级，环境类别为一类，结构的安全等级为二级，试计算所需配置的纵向受力钢筋面积。

解：（1）设计参数

C30混凝土，附表1查得：fc=14.3N/mm2 、ft=1.43N/mm2、α1=1.0 ，环境类别为一类，假设受拉钢筋为双排配置，a=60mm ，h0=500-60=440mm，HRB400级钢筋，附表3查得fy=360 N/mm2 、=360 N/mm2 ，表3-4查得ξb=0.518  。 

 （2）计算系数αs 、ξ

 由式(3-24b)、(3-24c)计算：

若截面尺寸和混凝土的强度等级不能改变，则应设计成双筋截面。

（3）计算、

取，  ，由式（3-26）、（3-27）计算：

（4）选钢筋

由附表13，受压钢筋选用214 ，；

          受拉钢筋选用820 ，。

截面配筋如图3-26所示

例3-5 已知矩形梁的截面尺寸b×h＝300mm×600mm ，承受弯矩设计值M=150kN·m，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB335级，在受压区已配置2 14的钢筋（），求受拉钢筋的面积。

解：（1）设计参数

C30混凝土fc=14.3N/mm2 、α1=1.0  ，HRB335级钢筋fy= fy’=300 N/mm2 ，ξb=0.55 ，假设受拉钢筋为一排配置， a=35mm ，h0=600-35=565mm 。

（2）计算受压区高度x

由式（3-28）计算：

  =43.34mm＜

          ＜

（3）计算受拉钢筋的面积

由式（3-30）计算：

受拉钢筋选用4  188 ，其截面配筋如图3-27所示。

图3-27 例题3-5截面配筋图           图3-28 例题3-6截面配筋图

例3-6已知矩形梁的截面尺寸b×h＝200mm×400mm ，环境类别为二类b。承受弯矩设计值M=120kN·m，混凝土强度等级为C30，钢筋采HRB335级。受拉钢筋为4  25（），受压钢筋为2  16（），截面配筋如图3-28所示，试验算此截面是否安全。

      解：（1）设计参数

C30混凝土fc=14.3N/mm2 、ft=1.43N/mm2、α1=1.0  ，环境类别为二类b，c=35mm， a=35+25/2=47.5mm ，h0=400-47.5=352.5mm ， HRB335级钢筋，ξb=0.55 。

（2） 计算受压区高度x

由式(3-25a)得

（3）计算受弯承载力Mu

由式(3-25b)计算

     所以截面安全。

3.6.T形截面受弯构件正截面受弯承载力计算

3.6.1.概述

1．T形截面

受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工作，故可挖去部分受拉区混凝土，并将钢筋集中放置，如图3-29(a)，形成T形截面，对受弯承载力没有影响。这样既可节省混凝土，也可减轻结构自重。若受拉钢筋较多，为便于布置钢筋，可将截面底部适当增大，形成工形截面，如图3-29(b)。

T形截面伸出部分称为翼缘，中间部分称为肋或梁腹。肋的宽度为b，位于截面受压区的翼缘宽度为，厚度为，截面总高为h。工形截面位于受拉区的翼缘不参与受力，因此也按T形截面计算。

图3-29 T形截面图

    工程结构中，T形和工形截面受弯构件的应用是很多的，如现浇肋形楼盖中的主、次梁，

T形吊车梁、薄腹梁、槽形板等均为T形截面；箱形截面、空心楼板、桥梁中的梁为工形截面。

但是，若翼缘在梁的受拉区，如图3-30(a)所示的倒T形截面梁，当受拉区的混凝土开裂以后，翼缘对承载力就不再起作用了。对于这种梁应按肋宽为b的矩形截面计算承载力。又如整体式肋梁楼盖连续梁中的支座附近的2-2截面，如图3-30(b)，由于承受负弯矩，翼缘(板)受拉，故仍应按肋宽为b的矩形截面计算。

图3-30 倒T形截面及连续梁截面

 2．翼缘的计算宽度

由实验和理论分析可知，T形截面梁受力后，翼缘上的纵向压应力是不均匀分布的，离梁肋越远压应力越小，实际压应力分布如图3-31(a)、(c)所示。故在设计中把翼缘在一定范围内，称为翼缘的计算宽度，并假定在范围内压应力是均匀分布的, 如图3-31(b)、(d)所示。

图3-31 T形截面受弯构件受压翼缘的应力分布和计算图形

《规范》对翼缘计算宽度的取值规定见表3-5，计算时应取表中有关各项中的最小值。

例题：某钢筋混凝土现浇肋梁楼盖的次梁，如图所示，次梁高度h=450mm，宽度b=200mm，次梁的计算跨度l0=6m，间距为2.4m，净距Sn=2.2m，楼板厚度=80mm，纵向受力钢筋合力点至混凝土边缘的距离=35mm，混凝土强度等级为C30，纵向受拉钢筋采用HRB335热扎钢筋。

图3-32 T形截面受压翼缘的计算宽度

3.6.2.计算公式与适用条件

1．T形截面的两种类型

采用翼缘计算宽度，T形截面受压区混凝土仍可按等效矩形应力图考虑。按照构件破坏时，中和轴位置的不同，T形截面可分为两种类型：

第一类T形截面：中和轴在翼缘内，即；

第二类T形截面：中和轴在梁肋内，即。

   为了判别T形截面属于哪一种类型，首先分析的特殊情况，图3-33为两类T形截面的界限情况。

图3-33  时的T形截面梁

                                              （3-31）

                                       （3-32）

当  或时，则，即属于第一类T形截面；反之，当或时，则，即属于第二类T形截面。

2．第一类T形截面的计算公式与适用条件

（1）计算公式

第一类T形截面受弯构件正截面承载力计算简图如图3-34所示，这种类型与梁宽为b的矩形梁完全相同，可用代替b按矩形截面的公式计算。

图3-34 第一类T形截面梁正截面承载力计算简图

                                     （3-33a）

                           (3-33b)

（2）适用条件

——防止发生超筋脆性破坏，此项条件通常均可满足，不必验算。

          ——防止发生少筋脆性破坏

必须注意，这里受弯承载力虽然按的矩形截面计算，但最小配筋面积按计算，而不是。这是因为最小配筋率是按Mu＝Mc r的条件确定，而开裂弯矩Mc r主要取决于受拉区混凝土的面积，T形截面的开裂弯矩与具有同样腹板宽度b的矩形截面基本相同。对工形和倒T形截面，则计算最小配筋率的表达式为：

3．第二类T形截面的计算公式与适用条件

（1）计算公式

第二类T形截面受弯构件正截面承载力计算简图如图3-35（a）所示。

                           （3-34a）

       (3-34b)

与双筋矩形截面类似，T形截面受弯承载力设计值Mu也可分为两部分。第一部分是由肋部受压区混凝土和相应的一部分受拉钢筋As1所形成的承载力设计值Mu1 (图3-35b) ，相当于单筋矩形截面的受弯承载力；第二部分是由翼缘挑出部分的受压混凝土和相应的另一部分受拉钢筋As2所形成的承载力设计值Mu2 (图3-35c)，即：

                           (3-34c)

                              (3-34d)

对第一部分(图3-35b)，由平衡条件可得：

                                              (3-34e)

                                       (3-34f)

对第二部分(图3-35c)，由平衡条件可得：

                     (3-34g) 

               (3-34h)

（2）适用条件

        ——防止发生超筋脆性破坏

——防止发生少筋脆性破坏，此项条件通常均可满足，不必验算。

图3-35 第二类T形截面梁正截面承载力计算简图

3.6.3.设计计算方法

1．截面设计

已知：弯矩设计值M、截面尺寸、混凝土和钢筋的强度等级，求受拉钢筋面积。

（1）第一类T形截面：

其计算方法与×h的单筋矩形截面梁完全相同。

（2）第二类T形截面：

在计算公式中，有及x两个未知数，该问题可用计算公式求解，也可用公式分解求解。

公式分解求解计算的一般步骤如下：

1）由式(3-34h) 计算；                          

2）由式(3-34c) 得；

3），，；

4）当时，由式（3-34a）得；

5）当时，说明截面过小，会形成超筋梁，应加大截面尺寸或提高混凝土强度等级，或改用双筋截面。

2．截面复核

已知：弯矩设计值M、截面尺寸、混凝土和钢筋的强度等级、受拉钢筋面积As，求受弯承载力Mu 。

（1）第一类T形截面：  

可按×h的单筋矩形截面梁的计算方法求Mu 。

（2）第二类T形截面：

计算的一般步骤如下：

1）由式（3-34a）得；

2）当时，由式（3-34b）计算；

3）当时，构件截面安全，否则为不安全。