六年级数学上册知识点归纳与整理

第一单元    分数乘法

（一）、分数乘法的意义。

  1、分数乘整数：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。

 例如：×6，表示：6个相加是多少，还表示的6倍是多少。

  2、一个数（小数、分数、整数）乘分数：是表示求一个数的几分之几是多少。

例如：18×，表示：18的是多少。  

      ×，表示：求的是多少？

3、理解打折的含义。例如：九折，是指现价是原价的十分之九。 

        现价=原价×

 （二）、分数乘法的计算法则：

1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。（整数和分母约分）

2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

注意：1）、能约分的先约分，然后再计算，得数必须是最简分数。

2）、当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

（三）、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小规律：

规律1：

（1）一个数（0除外）乘以大于1的数，积大于这个数。

   （2）一个数（0除外）乘以小于1的数（0除外），积小于这个数。

   （3）一个数（0除外）乘以1，积等于这个数。

规律2：

（1）真分数相乘积小于任何一个乘数。

（2）真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。

（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

       先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的。

（五）、分数乘法定律（同整数乘法）：

乘法交换律： 

        乘法结合律： 

乘法分配律：  

（六）、分数乘法积的变化规律同整数乘法积的变化规律

（1）、两个数相乘，其中一个乘数不变，另一个剩数扩大到原来的倍（或缩小到原来的），积也相应地扩大到原来的倍（或缩小到原来的）。

（2）、一个乘数扩大到原来的倍，另一个乘数缩小到原来的，积不变。

（3）、一个乘数扩大到原来的倍，另一个乘数扩大到原来的倍，积扩大倍。

（4）、一个乘数缩小到原来的，另一个乘数缩小到原来的倍，积扩大倍。

（六）、解决实际问题。

已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少？

1、分数应用题一般解题步行骤：

（1）找出含有分率的关键句。（分率就是几分之几）

（2）画线段图：

　①、两个量的关系：画两条线段图；       

②、部分和整体的关系：画一条线段图。

（3）找单位“1”：  

①、在分率句中分率的前面；

例如：全校男生的人数是女生人数的，那么单位“1”是女生人数。

②、“占”、“是”、“比”的后面；

③、总数量是单位“1”；

④、原价就是单位“1”；

⑤、当句子中的单位“1”不明显时，把原来的量看做单位“1”。

（4）根据线段图写出等量关系式：

判断单位“1”已知还是未知？已知用乘法，未知用除法。

①、如果单位“1”已知，就用乘法解，单位“1”的量×对应分率=对应量。

②、如果单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。要用除法或者列X方程计算单位“1”的量，用已知量除以它对应的分率。比较量÷分率=单位“1”。

③、写数量关系式技巧：  

A、“的”  相当于 “×”      “占”、“是”、“比”相当于“ = ”

B、分率前是“的”：  单位“1”的量×分率=分率对应量

C、分率前是“多”的意思： 单位“1”的量×（1+分率）=分率对应量

D、分率前是“少”的意思： 单位“1”的量×（1-分率）=分率对应量

（5）根据已知条件和问题列式解答。

2、分数乘法应用题有关注意概念。

（1）乘法应用题的解题思路：

已知一个数，求这个数的几分之几是多少？   一个数×。

（2）甲比乙多几分之几？表示：，甲比乙少几分之几表示：。

（3）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思；“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”的意思，“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。

（4）乘法应用题中，单位“1”是已知的。

（5）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比较，单位一致”的规则。解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的单位“1”，然后再相加减。

（6）找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位“1”是最后一步用除法，其余计算应在前）。   

 单位“1”×分率=比较量 ；    比较量÷分率=单位“1”

（7）单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的单位“1”，然后再相加减。

（8）分率与量要对应。

①多的对应量对多的分率；     

②少的对应量对少的分率；     

③增加的对应量对增加的分率；

④减少的对应量对减少的分率； 

⑤提高的对应量对提高的分率； 

⑥降低的对应量对降低的分率；

⑦工作总量的对应量对工作总量的分率； 

⑧工作效率的对应量对工作效率的分率；

⑨部分的对应量对部分的分率；

⑩总量的对应量对总量的分率；

注意：分数的连乘。找到每一个分率的单位“1”。

（五）、倒数

1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

2、求倒数的方法：

（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。

（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

（4）、求小数的倒数：  把小数化为分数，再求倒数。

3、0没有倒数，1的倒数是它本身。

4、对于任意数，它的倒数为；非零整数的倒数为；分数的倒数是； 

5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。

第二单元      位置与方向

一、确定物体位置的方法：

1、先找观测点；

2、再定方向（看方向夹角的度数）；

3、最后确定距离（看比例尺）  

二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。  

三、位置关系的相对性：

两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。 

四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。

1、确定位置的条件：

当观测点（中心）确定以后，确定物体位置是条件是（方向）和（距离）。

2、在平面图上标出物体位置的方法：

先确定（中心或观测点），然后确定（方向），再以图例选定的单位长度为基准来确定（距离）；最后在具体位置标出（名称）。

3、描述并绘制简单的路线图：

先按路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点建立（方向标），描述到下一个目的地的（方向）和（距离）。

4、位置关系的相对性;

（1）描述物体的位置与（观测点）有关系，观测点不同，物体位置的描述就（不同）。

（2）两地的位置具有（相对性），观测点不同，叙述的（方向）正好相反，（角度）和（距离）不变。

第三单元   分数除法

（一）、分数除法的意义：

分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

例如：÷4表示已知两个数的积是，与其中一个因数4，求另一个因数是多少。还表示把平均分成4份，每份是多少。

（二）、分数除法的计算：    

分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

（三）、规律（分数除法比较大小时）：

 （1）、当除数大于1，商小于被除数；

 （2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

 （3）、当除数等于1，商等于被除数。

（四）、分数除法的运算顺序：

（1）分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。

（2）“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

（五）、分数除法解决问题

未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 

1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

2、解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：  分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量   

3、求一个数是另一个数的几分之几：就   一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的量  

或：① 求多几分之几：大数÷小数 – 1      

② 求少几分之几： 1 -  小数÷大数

5、找单位“1”的方法：同分数乘法找单位“1”的方法。

6、找到单位“1”后，分析问题，已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法（注意：求单位“1”是最后一步用除法，其余计算应在前）。 

数量关系： 单位“1”×对应分率=对应数量； 

             对应量÷对应分率=单位“1”的量

7、单位“1”不同的两个分率不能相加减，解应用题时应把题中的不变量做为单位“1”，统一分率的单位“1”，然后再相加减。

8、工程问题：把工作总量看作单位“1”， 

工作效率=

工作时间=1÷工作效率  

合作时间 = 工作总量÷工作效率之和

第四单元    比

（一）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。比的后项不能为0。

1、比式中，比号（∶）前面的数叫比的前项，比号后面的项叫做比的后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。

例：12 ∶ 20 ＝＝ 12÷20＝  ＝0.6    

2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。

12∶20读作：12比20    

连比如：3：4：5读作：3比4比5

3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）

   工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）

（二）、比值

1、比值的意义：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

2、比值的表示方式：通常用分数、小数和整数表示。

（三）、区分比和比值：

（1）比值是一个数，通常用分数、整数、小数表示。

 （2）比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。

 （四）、比和除法、分数的区别：

1、商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。    

2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。   

3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。  

4、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。   

（五）比的基本性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

（六）化简比：

1、化简比：根据比的基本性质，把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，比的前项和后项必须是互质的整数。

例如：（1） 16﹕20=（16÷4）﹕（20÷4）=4﹕5

　　      （2）﹕=(×12)﹕（×12）=10﹕9

　        （3）1.8﹕0.09 =（1.8×100）﹕（0.09×100）=180﹕9=20﹕1 

化简之后结果还是一个比，不是一个数。

2、化简比的方法：

（1）整数比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

（2）分数比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法化简。

（3）小数比：向右移动小数点的位置，把小数比先化成整数比，再化简。

（4）也可以先求出比的比值，再将结果写成比的形式。

（七）按比例分配：

1、在工农业生产中和日常生活中，常常需要把一个数量按一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

2、按比例分配的解题方法：

    （1）先求出总的份数，再求出各部分数量占总数的几分之几。

（2）用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。

   例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？

        方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21  乙：5×7＝35

        方法二：甲：56×＝21   乙：56×＝35

例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？

方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35

        方法二：甲乙的和21÷＝56   乙：56×＝35

        方法三：甲÷乙＝  乙＝甲÷＝21÷＝35

第五单元    圆

1．圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O”来表示。

   半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”来表示。

   直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

等圆：半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重合。

   同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

3．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：   

4．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

5．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

6．圆的周长公式：或 

7．圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。

8．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积= 

9．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ²　或者S=（d2）²  

 或者S=（C 2）²

10．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。圆的面积和正方形面积的比是；在一个圆里画一个最大正方形的，圆的直径的长度等于正方形的对角线的长度，正方形的面积=对角线×对角线÷2=直径×直径÷2 。

11．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边。

12．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积S=　或

　S=（其中R＝r＋环的宽度．）

13．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长

14．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

半圆周长公式：Ｃ＝　或Ｃ＝

15．半圆面积＝圆面积2          公式为：Ｓ＝

16．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。

17．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。

例如：两个圆的半径比是，那么这两个圆的直径比和周长比都是，而面积比是。

18．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加厘米；

当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加厘米。

19．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．

20．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小；

当长方形，正方形，圆的面积相等时，长方形的周长最大，圆的周长最小。

21．扇形弧长公式：Ｌ＝或

　扇形的面积公式：　S=（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径）

22．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 

23．有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。

有2条对称轴的图形是：长方形    

有3条对称轴的图形是：等边三角形

有4条对称轴的图形是：正方形    

有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。

24．直径所在的直线是圆的对称轴。     

25．倍表

1、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。

2、任意一个正方形的内切圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π即4∶3.14。

3、外方内圆的间隙面积＝正方形的面积－圆的面积    S＝0.86 r2

       外圆内方的间隙面积＝圆的面积－正方形的面积    S＝1.14 r2

                              第六单元    百分数

1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数也叫做百分率或百分比。百分数不表示具体的数量，无单位名称。

    例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。

2．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于100，小于100或等于100。

◆百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

3. 百分数和分数的区别和联系：

（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。

（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。

           百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。

4、小数、分数、百分数之间的互化

（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。

（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。

（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。

（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。

（5）小数化分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。

（6）分数化小数：分子除以分母。

5、常用的分数、小数及百分数的互化

=0.5=50%         

 =0.25=25%

 =0.75=75%         

=0.2=20%

=0.4=40%          

=0.6=60%

=0.8=80%          

=0.125=12.5%

=0.375=37.5%      

=0.625=62.5%  

=0.875=87.5%      

=0.1=10%

=0.0625=6.25%    

=0.05=5%  

=0.04=4%         

=0.025=2.5%

=0.02=2%         

=0.01=1%

6．常见百分率公式：求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。（算式要加×100%，包括浓度、利润率）

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）

7．已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：

数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1分率）=分率对应量

8.未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。

解法：（建议：最好用方程解答）

（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。

（2）算术（用除法）：  分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量   

7. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题：（另一个数是单位“1”）   

实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。

两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%    或：

1求多百分之几：（大数÷小数 – 1） × 100%    

2 求少百分之几：（ 1 -  小数÷大数）× 100%   

8．求一个数的百分之几是多少 

一个数（单位“1”） ×百分率

9． 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 ？

  部分量÷百分率= 一个数（单位“1”）

10、浓度问题

溶质（盐）的重量＋溶剂（水）的重量＝溶液（盐水）的重量

溶质(盐)的重量÷溶液（盐水）的重量×100%＝浓度

溶液（盐水）的重量×浓度＝溶质（盐）的重量

溶质（盐）的重量÷浓度＝溶液（盐水）的重量

最常用的是用方程解浓度问题

比如两种不同浓度的溶液混合，最常用的数量关系是

甲溶液质量×甲的浓度+乙溶液质量×乙的浓度=总溶液质量×总的浓度

11、折扣

（1）折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。

几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

（2）一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%

12、纳税

（1）、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

（2）、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

（3）、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

（4）、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

（5）、应纳税额的计算方法：应纳税额 = 总收入 × 税率

13、利息

（1）、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

（2）、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

（3）、本金：存入银行的钱叫做本金。

（4）、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

（5）、利率：利息与本金的比值叫做利率。

（6）、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

（7）、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）

第七单元   统计

扇形统计图的特点：可以清楚直观地反映各部份数量同总量之间的关系。

折线统计图的特点：不但能够看出数量的多少，还可以反映出数量增减变化的情况。

条形统计图的特点：能够清楚的看出数量的多少。   

                          第八单元 :  数学广角

1、要看到图形，借助数看图形！

2、要看到数，借助图形看数！ 

3、把数学画出来！               

4、 把事物量出来！