普宁市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________     姓名__________   分数__________

一、选择题

1． 定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），

若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（     ）

A．1    B．±2    C．或3    D．1或2

2． 已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（     ）

A．∅    B．{1，4}    C．M    D．{2，7}

3． 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（     ）

A．﹣1+i    B．﹣1﹣i    C．1+i    D．1﹣i

4． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝10，则输出的i＝（     ）

A．4     B．5

C．6     D．7

5． 使得（3x2+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n=（     ）

A．3    B．5    C．6    D．10

6． 在函数y=中，若f（x）=1，则x的值是（     ）

A．1    B．1或    C．±1    D．

7． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n（3n﹣2）的前n项和为Sn，则S11+S20=（     ）            

A．﹣16    B．14    C．28    D．30

8． 若cos（﹣α）=，则cos（+α）的值是（     ）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

9． 复数=（     ）

A．    B．    C．    D．

10．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（     ）

A．    B．0    C．    D．

11．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（     ）

A．0    B．1    C．2    D．3

12．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（     ）

A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题

13．当下社会热议中国人口，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测的15﹣岁劳动人口所占比例：

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．

14．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x=　　　　　　．            

15．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为　　　　　　．

16．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是　　　　　　．

17．求函数在区间[]上的最大值　　　　　　．

18．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是　　．

三、解答题

19．已知函数（）．

（1）求的单调区间和极值；

（2）求在上的最小值．

（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．

20．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．            

（1）求f（1）的值；            

（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；            

（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．            

21．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（1）当θ= 时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．

22．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.

23．如图，四边形是等腰梯形，，四边形 

是矩形，平面，其中分别是的中点，是的中点．

（1）求证: 平面；

（2）平面. 

24．设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx（x＞﹣1），曲线y=f（x）过点（e﹣1，e2﹣e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥x2；

（Ⅲ）若当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．

普宁市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．

当1≤x＜2时，2≤2x＜4，

则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），

此时当x=时，函数取极大值；

当2≤x≤4时，

f（x）=1﹣|x﹣3|；

此时当x=3时，函数取极大值1；

当4＜x≤8时，2＜≤4，

则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），

此时当x=6时，函数取极大值c．

∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，

即点（，），（3，1），（6，c）共线，

∴=，

解得c=1或2．

故选D．

【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．

2． 【答案】D

【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，

∴集合N不可能是{2，7}，

故选：D

【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．

3． 【答案】A

【解析】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，

∴z==﹣1+i

故选A．

【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．

4． 【答案】

【解析】解析：选B.程序运行次序为

第一次t＝5，i＝2；

第二次t＝16，i＝3；

第三次t＝8，i＝4；

第四次t＝4，i＝5，故输出的i＝5.

5． 【答案】B

【解析】解：（3x2+）n（n∈N+）的展开式的通项公式为Tr+1=•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n﹣5r，

令2n﹣5r=0，则有n=，

故展开式中含有常数项的最小的n为5，

故选：B．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

6． 【答案】C

【解析】解：∵函数y=中，f（x）=1，

∴当x≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；

当﹣1＜x＜2时，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；

当x≥2时，2x=1，解得x=（舍）．

综上得x=±1

故选：C．

7． 【答案】B        

【解析】解：∵an=（﹣1）n（3n﹣2），            

∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）            

=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）            

=﹣16，            

S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）            

=﹣（1+7+…+55）+（4+10+…+58）            

=﹣+            

=30，            

∴S11+S20=﹣16+30=14．            

故选：B．            

【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．            

8． 【答案】B

【解析】解：∵cos（﹣α）=，

∴cos（+α）=﹣cos=﹣cos（﹣α）=﹣．

故选：B．

9． 【答案】A

【解析】解： ===，

故选A．

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．

10．【答案】C

【解析】解：由图象可得A=， =﹣（﹣），解得T=π，ω==2．

再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，

故f（x）=sin（2x﹣），

故f（）=sin（﹣）=sin=，

故选：C．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．

11．【答案】C

【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；

对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；

对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，正确；

对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，

我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；

综上，其中错误的个数是2．

故选：C．

12．【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，

故选B．

二、填空题

13．【答案】　y=﹣1.7t+68.7　

【解析】解： =， ==63.6．

=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．

=4+1+0+1+2=10．

∴=﹣=﹣1.7. =63.6+1.7×3=68.7．

∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．

故答案为y=﹣1.7t+68.7．

【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．

14．【答案】　3　．            

【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，            

∴p=2，            

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，            

∴|MF|=4=x+=4，            

∴x=3，            

故答案为：3．            

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．            

15．【答案】　　．

【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，

∴试验发生包含的事件数6，

∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，

∴a2﹣4a＞0，

解得a＞4，

∵a是正整数，

∴a=5，6，

即满足条件的事件有2种结果，

∴所求的概率是=，

故答案为：

【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．

16．【答案】　　．

【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，

∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），

∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，

∴m+n≥6，

则d=≥3．

故答案为：．

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．

17．【答案】　　．

【解析】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx

=+sin2x

=sin（2x﹣）+．

又x∈[，]，

∴2x﹣∈[，]，

∴sin（2x﹣）∈[，1]，

∴sin（2x﹣）+∈[1，]．

即f（x）∈[1，]．

故f（x）在区间[，]上的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．

18．【答案】　（1，2）　．

【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），

∴0＜a＜1，x＞0，

若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），

则，

解得：1＜x＜2，

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）时，时，时，；（3）.

【解析】

（2）当，即时，在上递增，∴；

当，即时，在上递减，∴；

当，即时，在上递减，在上递增，

∴．

（3），∴，

由，得，

当时，；

当时，，

∴在上递减，在递增，

故，

又∵，∴，∴当时，，

∴对恒成立等价于；

又对恒成立．

∴，故．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.

20．【答案】 

【解析】解：（1）令x1=x2＞0，            

代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，            

故f（1）=0．…（4分）            

（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，            

由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，            

即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），            

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）            

（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，            

所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．            

由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，            

f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，            

所以f（25）=﹣2．            

即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）            

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．            

21．【答案】 

【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，

从而当时，PQ=50﹣50cos=75．

即点P距地面的高度为75米．

（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．

又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．

从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=

=．

令g（θ）=．θ∈（0，π）

则，θ∈（0，π）．

由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．

当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．

所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．

因为．所以．

从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．

即当时，∠MPN取得最大值．

【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．

22．【答案】（1）单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．（2） （3）

【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需恒成立，根据这个要求得出的范围.

试题解析：

（2）时，．

当时，原不等式可化为．           

记，则，

当时，，

所以在单调递增，又，故不等式解为；  

当时，原不等式可化为，显然不成立，       

综上，原不等式的解集为．                           

23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.

24．【答案】 

【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e﹣1）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．                   …

（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x，

设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣x，

（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2．…

（Ⅲ）设h（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣mx2，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+x﹣2mx，

（Ⅱ） 中知（x+1）2ln（x+1）≥x2+x=x（x+1），∴（x+1）ln（x+1）≥x，∴h′（x）≥3x﹣2mx，

①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，成立．

②当3﹣2m＜0即时，h′（x）=2（x+1）ln（x+1）+（1﹣2m）x，h′′（x）=2ln（x+1）+3﹣2m，令h′′（x）=0，得，

当x∈[0，x0）时，h′（x）＜h′（0）=0，∴h（x）在[0，x0）上单调递减，

∴h（x）＜h（0）=0，不成立．

综上，．…