圆锥曲线的常见题型分析

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来源：《教学与管理(中学版)》2013年第09期

        一、高考定位

        回顾2008～2012年的江苏高考题，圆锥曲线是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3条填空题，一条解答题。填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其他知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题。

        二、应对策略

        一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧。

        二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力。

        三是在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识。

        预测未来高考题的走势。

        1.填空题依然是以考查直线和圆的方程问题及圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及。

        2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题。

        三、常见题型

        1.“是否存在”问题

        所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题。这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由。

        求解策略：首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。

        【例1】（2012年高考（湖北文））设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足

        |DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

        （1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

        （2）过原点斜率为k的直线交曲线于C，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为N点，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH，若存在，请说明理由。