等效电源法及其应用

作者：曹兴科

来源：《中学物理·高中》2013年第10期

        何为“等效电源法”？就是把电动势为E、内电阻为r的电源与定值电阻R0串联或并联后的部分看作“等效电源”，等效电动势为等效电源未接入电路时，电源两极之间的电势差，等效内电阻为电源未接入电路时两极间的电阻.利用“等效电源法”和常规方法分析同一电学问题所得结论完全相同，但“等效电源法”要简单、方便、快捷的多，因此，用“等效电源法”完全正确可行，不仅可以给分析计算带来极大的方便与快捷，而且能够解决许多用常规方法难以解决的问题.

        1利用“等效电源法”处理误差分析

        “测定电源电动势与内电阻”实验是高考的热点内容，对实验数据的误差分析是本实验的难点.对此实验的误差分析，常用方法有解析法、图象法、待定系数法、“等效电源法”.下面就以“伏安法”中的“相对电源内、外接法”为例试通过“等效电源法”加以说明、阐述.

        利用如图1所示的“相对电源外接法”测定电源电动势与内电阻，测量原理是视电压表的示数为电源的路端电压，电流表的示数为流过电源的电流，然而实际上由于电压表分流作用的影响，流过电源的电流大于电流表的示数.在这个问题中，因为影响实验的因素是电压表的内阻，故可以把图1中虚线框内部分看作“等效电源”.将图2中A、B视为“等效电源”的两个电极，A、B间的电压为“等效电源”的等效电动势E′，A、B间的电阻为“等效电源”的等效内阻r′.故等效电源电动势为E′=RVRV+rE，等效内阻r′=RVRV+rr.误差分析结果：电源电动势E′

        利用如图3所示的“相对电源内接法”测定电源电动势与内电阻，测量原理是视电压表的示数为电源的路端电压，电流表的示数为流过电源的电流，然而实际上由于电流表分压作用的影响，电压表的示数小于电源两端的电压.在这个问题中，因为影响实验的因素是电流表的内阻，故可以把图3中虚线框内部分看作“等效电源”.将图4中A、B视为“等效电源”的两个电极，A、B间的电压为“等效电源”的等效电动势E′，A、B间的电阻为“等效电源”的等效内阻r′.故等效电源电动势为E′=E，等效内阻r′=RA+r.误差分析结果：电源电动势E′=E；内电阻r′>r，即E测=E真，r测>r真.

        2利用“等效电源法”处理动态电路

        直流电路的动态分析是电学中的重要知识点.只要闭合电路中有一只电阻的阻值发生变化，就会影响到整个电路，可谓“牵一发而动全身”，致使每一部分的电流、电压均发生变化.处理的一般思路：从局部到整体再到局部.但在处理某些问题的过程中，过程相对比较繁琐或者如ΔUΔI无法直接判断，则此时巧用“等效电源法”方可轻松处理上述问题.

        例1如图5所示的电路中，当滑动变阻器R3的滑动触头P向b端移动时

        A.电压表示数变大，电流表示数变小

        B.电压表示数变小，电流表示数变大

        C.电源消耗的功率变大，电源总功率变大

        D.电源消耗的功率变大，电源总功率变小

        解析利用常规方法分析，处理过程相对比较繁琐.但如果采用“等效电源法”，将会比较简单、方便.先将图6所示的电路作如下变换：将虚线框内的部分看作“等效电源”，则此时电压表所测为“等效电源”的路端电压，电流表所测为“等效电源”的总电流，当滑片P向b端滑动时，外电阻R3阻值减小，很显然，路端电压减小，电压表示数变小，总电流增大，电流表示数变大，故B选项正确.

        例2在如图7所示的电路中，闭合开关S，当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动时，四个理想电表的示数分别用I、U1、U2和U3表示，电表的示数变化量的大小分别用ΔI、ΔU1、ΔU2和ΔU3表示，下列比值正确的是

        A.U1I不变，ΔU1ΔI不变

        B.U2I变大，ΔU2ΔI不变

        C.U2I变大，ΔU2ΔI不变D.U3I变大，ΔU3ΔI不变

        解析由于R1是一个定值电阻，故R1=U1I=ΔU1ΔI，故A选项正确.由于R2=U2I，在滑动变阻器的触头向下滑动的过程中，电阻R2变大，因此R2=U2I变大，但是ΔU2ΔI比值究竟怎么变化，无法直接判断.这时还得利用“等效电源法”，把电源与定值电阻R1看成等效电源，等效内阻r′=R1+r，电压表V2读出的是在“等效电源”下的路端电压，故

        ΔU2ΔI=ΔU内ΔI=r′=R1+r，

        故ΔU2ΔI不变，B选项错误，C选项正确.电压表V3读出的是R1、R2串联后两端的电压，R1、R2总电阻在变大，因此

        U3I=R1+R2，

        U3I变大，

        而ΔU3ΔI=ΔU内ΔI=r，

        故D选项正确.故答案A、C、D.

        3利用“等效电源法”处理功率问题

        在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率P出与外电阻R的关系可以用图8的P出-R图象表示.由图象可知：对应于电源的非最大输出功率P可以有不同的外电阻R1和R2，且满足R1R2=r2.当Rr时，若R增大，则P出减小；当外电阻等于内电阻，即当R=r时，电源输出功率最大，最大输出功率为Pm=E24r.

        例3如图9所示，电源电动势E=6 V，内电阻r=2 Ω，R1=4 Ω，R2为滑动变阻器，要使滑动变阻器消耗的功率最大，R2应是多大？这时R2消耗的电功率是多少？

        解析如图10所示，将定值电阻R1与电源看作“等效电源”，等效电源电动势E=6 V，等效内电阻r′=6 Ω，此时滑动变阻器R2转变为“等效电源”下的纯外电阻，根据电源输出功率与外电阻的对应关系可知：

        当内、外电阻相等时即R2=r′时，

        P2max=P出max=E24r′=1.5 W.

        在描绘小灯泡的伏安特性曲线实验中，常会遇到这种情形，把小灯泡与一已知阻值的定值电阻串联后接到已知电动势，内阻不计的电源两端，求小灯泡的实际功率为多少.此种情形当然也可以通过“等效电源法”处理，把已知阻值的定值电阻看成“等效电源”的内阻，此时小灯泡可以看作纯外电阻，小灯泡两端的电压与流过小灯泡的电流成了整个闭合电路中的路端电压与干路电流，可以在原图象中作出路端电压U与干路电流I之间的U-I图象，寻找出伏安特性曲线与U-I直线之间的交点，此交点所对应的电压与电流就是小灯泡在此闭合电路中的实际电压与电流，则实际功率

        P实=U交I交.例 .一段导体的伏安特性曲线如图 所示.将这段导体与 的定值电阻 串联，接在电动势为 的电源上，则导体消耗的实际功率为 .解析：将阻值为 的定值电阻看作电动势为 的电源的内阻，因此等效电源电动势 ，内电阻 ，如图 所示，导体两端的电压为路端电压，流过导体的电流为干路电流，在图 中作出路端电压与干路电流之 虚线图像（满足函数关系式 ），交点为（ ， ），故导体消耗的实际功率为 四.利用“等效电源法”扩大内阻，减小实验误差“测定电源电动势与内电阻”是电学实验中的重中之重，实验方法也较多，如“相对电源内外接法”“安欧法”“伏欧法”等，以“相对电源内外接法”为例，为了尽可能减小实验误差，通常采用图像法（ 图像）处理实验数据，在处理数据过程中，为了使路端电压变化均匀、明显，电池的内阻宜大些，通常选用已用过一段时间的干电池，但是在某些实验中，在对象电池内阻非常小的情况下，如何使路端电压变化明显，则可通过“等效电源法”扩大内阻来弥补电池内阻非常小的缺陷.例 .用如图 所示的电路测定一节蓄电池的电动势和内电阻.蓄电池的电动势约为 ，内阻非常小，为防止滑动变阻器电阻过小时由于电流过大而损坏器材，电路中用了一个保护电阻 .除蓄电池、滑动变阻器、开关、导线外，可供选择的器材还有： .电流表（量程 、 ） .电压表（量程 、 ） .定值电阻（阻值 、额定功率 ） .定值电阻（阻值 、额定功率 ）电流表和电压表各选哪个量程？选用哪个定值电阻 ？ 解析：电学实验器材选择比较复杂，应多方面综合考虑，容易出现顾此失彼的情况，根据“安全可行、精确测量、便于操作”的基本原则，故电流表选择量程 ，电压表选择 ，定值电阻选择 .但是再仔细分析原题的话，很自然就会发现问题.由于“蓄电池内阻非常小”，串接保护电阻 后，与不串保护电阻相比，相当于进一步放大了外电阻，图 中电压表测得的路端电压更加接近电动势，其数值变化更加不明显，更加不满足“精确测量、便于操作”的原则.故原图 是有问题的.因此，在电池内阻非常小时，通常按照如图 的方法处理，在电池旁边串一个阻值已知的定值电阻 ，当然电压表测量值的含义也有所变化.将电池和定值电阻 看作一个新的电池，其中 ， ，此时电流表测量量含义同前，电压表测量量是新电源的路端电压.由于 ，即“放大”了内阻，克服了“蓄电池的内阻非常小”的先天不足，电压表测得的“路端电压”自然会变化明显，便于读数，方便作图，减小误差.若实验测得 和 ，即有 ， .这样做，实验原理没变，只是改变实验方法（等效电源法），但是 既实现了保护电路的作用，又将难以测量的实验变成了容易完成的实验，实现了化难为易的作用.