实际问题中利用二次函数求最值值的三种类型

作者：陈宪胜

来源：《中学理科·初中版》2008年第07期

        利用二次函数解决实际问题是中考的热点题型，该题型常设计成从实际问题情境中确定二次函数的表达式，再利用二次函数的性质求最值.下面以2007年的中考试题为例来说明求最值的三种类型．

        一、利用配方法或公式法求最值

        【例1】 (2007年，青岛)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元／千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

        (1)求y与x的关系式；

        (2)当x取何值时，y的值最大?

        (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元／千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元?

        解：(1)y=(x-50)•w

        =(x-50)•(-2x+240)

        =-2x2+340x-12000，

        ∴y与x的关系式为：

        y=-2x2+340x-12000．

        (2)y=-2x2+340x-12000

        =-2(x-85)2+2450，

        ∴当x=85时，y的值最大．

        (3)当y=2250时，可得方程

        -2(x-85)2+2450=2250．

        解这个方程，得x1=75，x2=95．

        根据题意，x2=95不合题意，应舍去．

        ∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

        评注：建立二次函数关系式后，利用配方法确定二次函数的顶点坐标，即可求出函数的最大值.

        二、利用自变量的实际意义求最值

        【例2】 (2007年，南通)某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润=销售价-进价)

        (1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；

        (2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少?此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高?

        解：(1)y=(3900-100x-3000)(6+3x)

        =-300x2+2100x+5400.

        (2)y＝-300x2+2100x+5400

        =-300(x-3．5)2+9075．

        因x为正整数，∴当x=3或4时，y=9000.

        当x=3时，单价为3600元，每天销售15台，营业额为54000元；

        当x=4时，单价为3500元，每天销售18台，营业额为63000元.

        ∴最大利润是9000元，此时单价是3500元.

        评注：根据顶点坐标，当x=3．5时，y取得最大值.但由于已知自变量x为正整数，所以取x=3或4，当x=3或4时，计算出彩电的销售量和营业额，比较得出结论.

        三、利用函数的增减性求最值

        【例3】 (2007年，贵阳)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

        (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式；

        (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元）与销售价x(元/箱）之间的函数关系式；

        (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

        解：(1)y=90-3(x-50)，化简得：

        y=-3x+240.

        (2)w=(x-40)(-3x+240)

        =-3x2+360x-9600．

        (3)w=-3x2+360x-9600．

        ∵a

        当x=-b/2a=60时，w有最大值．

        又x

        ∴当x=55元时，w的最大值为1125元．

        ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．

        评注：本题自变量x最大取值是55，而利用公式，当x=60时，w有最大值，x的取值超出了自变量的取值范围,所以可利用二次函数的增减性来求得最大值.

        实际问题中二次函数的最值受自变量取值范围的，当顶点的横坐标在这个范围时，可直接利用顶点坐标来求；当顶点的横坐标不在这个范围时，要根据函数的增减性，求自变量取值范围两端点所对应的函数值为该函数的最值；求最值时，还要根据自变量的实际意义，如商品数量只能为整数、人数为整数等，通过计算比较才能确定最值.