基于小波变换的去噪和压缩

姓名：何XX 学号：专业：控制理论与控制工程

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摘要：小波变换是一种比傅立叶变换更灵活的信号处理工具。由傅立叶变换应用范围之广，对小波变换的应用便可见一斑。利用小波函数分解信号、去噪和数据压缩、信号重构的原理与方法，掌握小波系数和尺度系数所代表的含义,并通过Matlab软件仿真实现了基于小波域的去噪和压缩处理,验证了小波分析方法对信号噪声处理和压缩处理的有效性。

关键字：分解；去噪；压缩；重构；

0 引言

小波变换是一种比傅立叶变换更灵活的信号处理工具，其灵活性、有效性及广泛的实用性等更优于傅立叶变换。可以说，傅立叶变换与短时傅立叶变换属于小波包的范畴，可看成是小波变换的一种极限情况或一个特例。由傅立叶变换应用范围之广，对小波变换的应用便可见一斑。

信号在传输的过程中总是受到噪声信号的干扰和影响，噪声是影响信号质量的主要因素。一般而言，解决噪声干扰既可以采用硬件抑制的方法,如可以用各种滤波电路设计和屏蔽措施，也可以采用软件处理的方法,即用信噪分离算法来消除。

这里我们对给定信号进行小波域的分解并对其进行处理。如果是滤波处理，就要将要滤掉的成分所对应的小波系数设为零。如果是数据压缩，就要将绝对值小的小波系数设为零，然后通过小波重构算法实现对信号的去噪和压缩处理。

1 信号的小波分析特性

小波分析的一个重要应用就是对信号进行去噪处理，通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频的信号，所以要对信号进行小波域的多层分解。

（1）一维信号的小波分解。选择一个小波并确定小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解。

（2）小波分解后的高频系数的阀值量化，从第1层到第N层的高频系数选择一个阀值进行阀值量化处理。如果已知要去除的噪声的频率或已知信号要压缩的阀值，就可以确定小波分解的层次。

（3）一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。

2 实验及分析

给定信号的抽样数据“shuju2”,要求去除30Hz以上频率的所有噪声成分，压缩数据的压缩阈值为：0.2。所给数据使用的采样间隔为1/512,长度为512，即在1秒时间间隔内进行采样。

用haar小波进行分解、去噪和压缩、重构，以下是具体的步骤及图像：

（1）进行小波系数和尺度系数的分解

本实验进行分解使用的算法是Mallet算法，其分解公式如下：

在本次试验中，因为信号长度为512，所以从第九层（index=9）开始对小波进行分解，一直到最后一层（index=1）。

（2）去噪处理

         因为噪声往往都是频率比较高，因此去噪就是去除信号当中的一些高频成分，在本次试验当中去除了30Hz以上的频率成分。

        由2^5=32 > 30可知，去除30Hz以上的频率成分相当于高频（细节）图像数据当中第五层以上的数据置为0（即index>=5）。

        去噪以后对信号进行重构，重构的算法依然是Mallet算法，其公式如下：

     对信号进行重构时，从第四层index=5开始重构，信号去噪后再进行重构的图像如下图：

（3）数据压缩处理

数据压缩就是把高频信号当中绝对值高于某一阈值的成分去除，在本次试验当中，阈值选择为0.2，即数值低于0.2的成分都置为0。

    数据压缩后的重构方法与去噪处理当中的方法一样，重构后的图像如下图：

计算压缩比：

其中：sum2为压缩后的非零值的个数，sum1为压缩前的非零值的个数。用‘Haar’小波做出的压缩比：0.701613。

（4）用Daubechies（db3）解、去噪和压缩、重构，具体的步骤同用Haar小波一样，下面是图像：

计算压缩比：其中：sum2为压缩后的非零值的个数，sum1为压缩前的非零值的个数。用‘db3’做出的压缩比为：0.403226。

从实验结果来看，我们得到的去噪后的信号比较光滑，克服了原始信号波形的波动性，基本上滤除了原始信号中的噪声，从db3小波处理后的图像可以看的很明显。还可以看出用Daubechies小波比用Haar小波进行重构得到的图像更加平滑，这主要是因为Daubechies小波是连续函数，而Haar小波不是连续的，因此效果要差些。    

3 结束语

     本文通过对小波去噪和压缩基本原理的进一步分析，并用Matlab进行了仿真，发现小波变换的灵活性、有效性等更优于傅立叶变换。

参考文献

彭玉华 小波变换与工程应用 科学出版社 1999