第一学期数学分析期末考试试题库

一、判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））：

1、设在上连续，与分别是的最大值和最小值，则对于任何数，均存在，使得。 

                                              （     ）

2、2、设在内可导，且，则。

                                      （     ）

3、3、设的极限存在，的极限不存在，则的极限未必不存在。

                                                             （     ）

4、4、如是函数的一个极点，则。  （     ）

5、对于函数，由于不存在，根据洛必达法制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。                                （     ）

6、无界数列必发散；                                          （     ）

7、若对>0，函数在[]上连续，则在开区间（）内连续；                                        （    ）

8、初等函数在有定义的点是可导的；                            （     ）

9、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点

必不可导 ；                                                （     ）

10、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，但，

则对，有；                                （     ）

二、填空题：

1.1.    设   ,       ;

2.2.    设        ；

3.3.    设在      ，

      。

4、＝                ；

5、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是           ；

6、，                     ；

7、函数二阶可导，， 则                ；

8、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，

                           ；

三、计算题：

1、计算下列极限： 

（1）；（2）

2、计算下列导数： 

    （1）

    （2）；

 3、求椭圆处方程； 

    4、将边长为的正方形铁皮，在其四个角上各切掉一个大小相等的小正方形，然后折起做成一个无盖的铁盒.问铁盒上切掉多大的小正方形，使得做成的铁盒容积最大？ 

 5、描绘函数的图像.

6、计算下列极限：

       （1）；（2）.

7、计算下列导数：（10分）

   （1），   求；

  （2）；

8、求摆线 在处的切线方程；

     9、设函数在点处连续，求的值；

   10、求函数在上的最大值与最小值.

四、证明题：    

1、设，满足：

证明：收敛，并求.

2、设为实常数，证明：

3、设函数在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：>0，Ⅰ，

有，证明在区间Ⅰ上一致连续；

4、设<<，在[]上可导，在（）内可导，证明，使得.