数学分析10.4旋转曲面的面积

4 旋转曲面的面积

一、微元法

定义：已知：若φ(x)= dt，则当f为连续函数时，φ’(x) =f(x)，或dφ=f(x)dx，且φ(a)=0，φ(b)= dt. 

现将问题倒过来，若所求量φ是分布在某区间[a,x]上的，或它是该区间端点x的函数，即φ=φ(x), x∈[a,b]，且当x=b时，φ(b)适为最终所求的值. 

在任意小区间[x,x+△x]⊂[a,b]上，若能把φ的微小增量△φ近似表示为△x的线性形式：△φ≈f(x)△x，其中f为某一连续函数，

而且当△x→0时，△φ- f(x)△x=o(△x)，亦即dφ=f(x)dx，

那么只要把定积分dx计算出来，就是该问题所求的结果，这种方法通常称为微元法.

注：1、所求量φ关于分布区间必须是代数可加的；

2、微元法的关键是正确给出△φ的近似表达式△φ≈f(x)△x.

应用：求平面图形面积的微元表达式：△A≈|y|△x，且dA=|y|dx.

求立体体积的微元表达式：△V≈A(x)△x，且dV=A(x)dx.

求曲线弧长的微元表达式：△s≈△x，且ds=dx.

二、旋转曲面的面积

设光滑曲线C的方程为y=f(x), x∈[a,b]，不妨设f(x)≥0.

曲线C绕x轴旋转一周得旋转曲面如图，可用微元法导出其面积公式.

通过x轴上点x与x+△x分别作垂直于x轴的平面，在旋转曲面上截得一狭带，当△x很小时，近似于一圆台侧面，即

△s≈π[f(x)+f(x+△x)] 

=π[2f(x)+△y]△x，

其中△y=f(x+△x)-f(x)，又=0,

=.

由f’(x)的连续性可保证：

π[2f(x)+△y]△x-2πf(x)△x=o(△x).

∴dS=2πf(x), S=2πdx.

若光滑曲线C由参数方程：x=x(t), y=y(t), t∈[α,β]给出，且y(t)≥0，则

由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为：

S=2πdt.

例1：计算圆x2+y2=R2在[x1,x2]⊂[-R,R]上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积.

解：圆在x轴上方的曲线为y=，则y’=，

所得球带的曲面面积为：

S=2πdx=2πR(x2-x1).

注：当x1=-R, x2=R时，则得球的表面积S球=4πR2.

例2：计算由内摆线x=acos3t,y=asin3t绕x轴旋转所得旋转曲面面积。解：x’(t)=-3acos2tsint, y’(t)=3asin2tcost, 

所得曲面面积为：

S=4πdt=4πdt

=12πa2dsint=πa2.

习题

1、求下列平面曲线绕指定轴旋转曲面的面积：

(1)y=sinx, 0≤x≤π, 绕x轴；

(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0), 0≤t≤2π, 绕x轴；

(3) =1, 绕y轴；(4)x2+(y-a)2=r2(x解：(1)所得曲面面积为：

S=2πdx=2πdx=2π[].

(2)∵x’=a(1-cost), y’=asint. ∴所得曲面面积为：

S=2πdt=2πa2dt

=πa2.

(3)曲线在y轴右侧部分为：x=, x’=,

∴所得曲面面积为：

S=2πdy=2πady.

当b>a时，S=2π(a2+)；

当b当b=a时，S=4πa2=4πb2.

(4)此旋转体的表面可看作是由两个半圆：

y=a+, y=a-, -r≤x≤r绕x轴旋转所得.

∴S=2πdx+2πdx

=4πrad=4π2ra.

2、设平面光滑曲线由极坐标方程：r=r(θ), θ∈[α,β]⊂[0,π], r(θ)≥0

给出，试求它绕极轴旋转所得旋转面的面积计算公式。

解：化为参数方程：x=r(θ)cosθ, y=r(θ)sinθ.

则x’=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ, x’2=r’2(θ)cos2θ-2r(θ)r’(θ)sinθcosθ+r2(θ)sin2θ;

y’=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ, y’2=r’2(θ)sin2θ+2r(θ)r’(θ)sinθcosθ+r2(θ)cos2θ;

则有x’2+y’2=r2+r’2. 

∴S=2πdθ.

3、试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积；

(1)心形线r=a(1+cosθ)(a>0);

(2)双纽线r2=2a2cos2θ(a>0).

解：(1)r’=-asinθ; r2+r’2=a2(sin2θ+1+2cosθ+cos2θ)=2a2(1+cosθ).

所得旋转曲面的面积为：

S=2πdθ=2πa2dθ

=16πa2d=πa2.

(2)双纽线在极轴上方部分的曲线为：r=,θ∈[,],

r’=-sin2θ. r2+r’2=.

所得旋转曲面的面积为：

S=4πdθ=8πa2dθ=(8-4)πa2.