【2023年上海高三数学二模】2023届松江区高三二模数学试卷及答案

松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2023.4

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～

12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，2|

1B x x ⎧⎫

=>⎨⎬⎩⎭

，则A B = ▲ ． 2．若复数z 满足34i z i ⋅=-，则z = ▲ ．

3．已知空间向量()1,2,3a = ，()2,2,0b =- ，()1,1,c λ= ，若()

2c a b ⊥+

，则λ= ▲ ．

4．已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ,若( 1.96)0.03P X <-=,则(|| 1.96)P X <= ▲ ．

5．已知

2π

θπ<<，且4

cos 5

θ=-，则tan 2θ= ▲ ． 6．在二项式8

1()x x

-的展开式中，含4x 的项的系数是 ▲ ．（结果

用数字作答）

7．将右图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50mm 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 ▲ mm ．

8．从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队。用A 表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用B 表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则()|P B A = ▲ ．（结果用最简分数表示）

9．参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 ▲ 升． 10．已知(0,

2

x π

∈，则

22

14

sin cos x x

+的最小值为 ▲ ． 11．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，

(

)f x =()2023

2023(

2

f f += ▲ ．

高三数学 第2页 共4页

12．已知点A 、B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且2(0)OA a a =>

.若存在

,R m n ∈，使得mAB OA + 与nAB OB +

垂直，且()()

mAB OA nAB OB a +-+= ，

则AB

的最小值为 ▲ ．

二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题

选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．

13．已知直线1:10l ax y ++=与直线2:20l x ay +-=，则“1l ∥2l ”是“1a =”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

14．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如

下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程 y ax

b =+ ，其中 0.76a =， b y ax =- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 15．若方程()()0f x g x ⋅=的解集为M ，则以下结论一定正确的是（ ）

①{}{}|()0|()0M x f x x g x === ②{}{}|()0|()0M x f x x g x === ③{}{}|()0|()0M x f x x g x ⊆== ④{}{}|()0|()0M x f x x g x ⊇== A．①④ B．②④

C．③④

D．①③④

16．已知函数32

13,3

y x x x a a R =

--+∈，在区间(3,5)t t -+上有最大值，则实数t 的取值范围是（ ） A．60t -<< B．60t -<≤ C．62t -<<

D．62t -<≤

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤．

高三数学 第3页 共4页

B

D

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2sin b A =．

（1）求角B ；

（2）求cos cos cos A B C ++的最大值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，045ADC ∠=，

2AD AC ==，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M

是PD 的中点．

（1）证明：PB ∥平面ACM ；

（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的大小．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车.根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：

（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多

少亿元？

（2）车企推出两种付款方式：

全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；

分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的

18

. ①某位顾客现有a 万元现金，欲购买价值a 万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品.问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）

②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）

车型 A B C D E F 价格 9万元

12万元

18万元

24万元

30万元

40万元

占比

5% 15% 25% 35% 15% 5%

高三数学 第4页 共4页

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分

已知椭圆22

12:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线

2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e

，12e e ⋅. 过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、

Q 两点.

(1)求1C 、2C 的方程；

(2)若113AF F B =

，求直线PQ 的方程；

(3)求四边形APBQ 面积的最小值.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分

已知0x >，记()x f x e =，()x g x x =，()ln ()h x g x =.

（1）试将()y f x =、()y g x =、()y h x =中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复

合函数；

（2）借助（1）的结果，求函数(2)y g x =的导函数和最小值； （3）记()()

()f x h x H x x a x

-=

++，a 是实常数，函数()y H x =的导函数是''()y H x =．

已知函数()'()y H x H x =⋅有三个不相同的零点1x 、2x 、3x ．求证：1231x x x ⋅⋅<

.

松江区2022学年度第二学期模拟考质量监控试卷

参

一、填空题

1．{}1； 2．5 ；3．1- ； 4．0.94 ；5．247- ； 6．28 ；7．50

8．13；9．

811

；10．9；

二、选择题

13．B 14．B 15．C 16．B

三.解答题

17．解：

（1）由2sin b A =

结合正弦定理可得：2sin sin B A A =,……2分

因为△ABC

为锐角三角形，所以sin B =

……4分 故3

B π

=

. ……6分

（2）结合(1)的结论有：

12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=+

+- ⎪⎝⎭

(8)

分 11cos cos 22A A A =-+

+11

cos 22

A A =++ ……9分

1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（或者1cos 32A π⎛

⎫=-+ ⎪⎝⎭） ……11分

由203202

A A πππ

⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，

当3A π

=

时，max sin =61A π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭， ……13分

即cos cos cos A B C ++的最大值是3

2

. ……14分

18．解：（1）证明：连接MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 与BD 的交点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以PB MO . ……2分 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB 平面ACM . ……6分 （2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ， 因为M 为PD 的中点，所以MN PO ，且1

12

MN PO =

=, PO ⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，

所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角. ……10分 在中，2,1AD AO ==

，所以DO =

，从而12AN DO =

=

，

在,tan MN Rt ANM MAN AN ∆∠=

==中， 所以直线AM 与平面ABCD

所成角大小为arctan

……14分

（也可为

2arcsin 3）.

解法二：可以A 为原点建立空间直角坐标系完成.

19．解：（1）销售一辆车的价格的数学期望E 为：

95%1215%1825%2435%3015%405%21.65E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 20000433000E ⨯=（万）43.3=（亿）

所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元. ……6分 （2）①全款购车两年后资产总额为：43%(1 1.8%)=0.0322a a ⋅⋅+ （万元） ……8分 分期付款购车两年后资产总额为：4

3

2

11111( 1.018 1.018 1.018 1.018)2

8

8

88

a ⋅⨯-⨯-⨯-⨯-

432

111.018(1.018 1.018 1.0181)2

8

a ⎡⎤=⋅⨯-⨯+++⎢⎥⎣⎦

44

111 1.0181.0180.02332

81 1.018a a ⎡⎤-=⋅⨯-⨯=⎢⎥-⎣⎦（万元） ……11分 Rt DAO ∆

因为0.0322a 0.0233a >，所以顾客选择全款购车方式收益更多. ……12分 ②由①得：0.0322a 0.02330.000.1888a a -=<

所以21.2134a < 所以，这一措施对购买A 、B 、C 车型有效. ……2分 20.

（1）解：由题意可得：

1e =

2e =，

所以12e e =

==

得：21b = ……3分

所以，椭圆的方程为，双曲线的方程为. ……4分

（2）解：由（1）可知，因为直线AB 不垂直于轴，设直线AB 的方程为

，

设点、，则111122(1,),(1,)AF x y F B x y =---=+

，

由113AF F B =

得：123y y -=，即：123y y =-

联立可得， 由韦达定理可得， ……6分 将123y y =-

代入得：222222132m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨

⎪=⎪+⎩

，化简得：1m =± ， ……8分

当1m =时，弦AB 中点21(,)33M -

，则直线PQ 的方程为1

2y x =-； 当1m =-时，弦AB 中点21(,3

3

M --，则直线PQ 的方程为1

2

y x = ……10分 （3）解：设AB 中点00(,)M x y 由（2）可得

1C 22

12x y +=2C 2212

x y -=()11,0F -y 1x my =-()11,A x y ()22,B x y 22

122

x my x y =-⎧⎨+=⎩()22

2210m y my +--=()()

222442810m m m ∆=++=+>12222m y y m +=

+12

21

2

y y m =-+

，

则

，所以，点， 2

PQ OM m k k ==-

，直线的方程为，

联立可得，所以， 不妨取点、， ……13分 所以点到直线

的距离为，

21

d

点到直线

的距离为

22d

则分

所以，四边形的面积为

分 故当时，四边形的面积取最小值. ……18分

21. 解：（1）()()ln ()ln ln ()x

h x g x x x x x y f h x e e e e x g x =======（）． ……4分 （2）利用复合函数的求导法则可求得()2'(2)22ln 21x

g x x x =+（）， ……6分 令()2'(2)22ln 21x

g x x x =+（）=0，可求得：

当12x e =时，函数()2y g x =的最小值为1

1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

． ……10分 ()2212

m AB m +==

+022m y m =

+002212x my m =-=-+22

2,22m M m m ⎛

⎫- ⎪++⎝⎭

PQ 2m

y x =-22222

m y x x y ⎧

=-⎪⎨⎪-=⎩2242x m =-2

20m ->P ⎛ ⎝Q P AB Q AB 212d d +=

APBQ ()()2212211

22

m S AB d d m +=+===+=0m =APBQ 2

（3）()()()-f x h x a x

x H x =

++=ln e x

x x x

a -++

由()2222e (1)e (1)1e (1'()1)x x x x x x x x x H x x x x

x +----+=-+==， 可得函数()H x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ……11分 因为函数()y H x =⋅'()H x 有三个不相同的零点1x 、2x 、3x ． 而y ='()H x 的零点为1，不妨设3x =1，则()y H x =的零点为1x 、2x ． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，

1

1

1x >.()1H x =()2=0H x ． ……12分 令1()()K x H x H x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，

则()11222

211e 1e (1)1(1)'()e e 11x x x x x x x x x K x x x x x x x

⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎛⎫⎝⎭-⎝⎭=+⨯=+-- ⎪⎝⎭. 令1

()e 1x x

p x e x x =+--，则111

211'()111x

x

x x

x P x e e xe e e x x ⎛⎫=+-+⨯=++- ⎪⎝⎭

，

所以当(0,1)x ∈时，'()0p x >，所以当(0,1)x ∈时，()P x 是严格增的， 所以当(0,1)x ∈时，()(1)0p x p <=，所以当(0,1)x ∈时，()0F x '>，

则1()()K x H x H x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

在(0,1)上单调递增， ……15分

所以在(0,1)上1()()K x H x H x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭<(1)0K =，所以111()H x H x ⎛⎫- ⎪⎝⎭

<0．

又()1H x =()2=0H x ，所以()2110H x H x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()211H x H x ⎛⎫

< ⎪⎝⎭

. ……17分

又函数()y H x =在(1,)+∞上单调递增，所以21

1

x x <

，即121x x <. 综上，1231x x x <. ……18分