风险投资决策分析模型

刘  凯 

华中科技大学经济学院

摘要：本文在几个关于投资者和竞争市场的一般性假设的基础上探讨风险投资的性质并用一类动态优化模型描述风险投资者的决策行为，从而得到了风险投资者（间或是一个企业，一个的单位）进行风险投资或者选择风险投资项目所必须具备的条件；研究发现在风险投资中引入市场竞争加快了新产品研制与开发的进程，但同时增加了新产品开发的社会必要成本，据此提出了“风险投资的行业协调”问题及协调的原则；结果还表明，在本文的框架下，垄断只是竞争这种普遍形式的一种特例。这些结果不仅对于提高风险企业的投资决策水平和加强风险投资的行业管理有着非常重要的价值，而且对于经济学关于垄断与竞争的关系也是一种罕见的描述。

    关键词：风险投资   行业协调

Analyzing  Model  Of  Venture Investments Decision

Liu Kai   

College of Economics, Huazhong University of Science & Technology

Abstract: Basing on some normal suppose of the venture investments and venture market  we present nature of venture investment  ,  a type of  dynamic model used to show venture investment’s technology  behavior  which has more general and extensive attribute ;analyzing shows that there be the venture investment’s essential conditions; the results show that the rivalry in the venture investment hurries the R&D process but increases the social cost of the venture investment ;therefore the  problem of mystery’s matching  and it’s principle were got in this paper ;the result show yet the monopolization is only an example of the rivalry.

Keywords: venture investment    mystery’s matching

风险投资决策分析模型

刘凯  

华中科技大学经济学院（武汉430074）

1  问题的提出与假设

称含有不确定的预期结果的投资为风险投资，新产品的研究与开发，高科技产品的研制都可以看作是风险投资。风险投资具有很强的探索性，一个在现在来说是未知世界的对象,其变化运动的规律，其组织结构的本质，往往是无法预见的，只能一步步去研究，去探索；由此我们可以推断风险投资具有高度的不确定性，这种不确定性不仅表现在研究结果的可变性，而且表现在验证结果的正确性往往需要比获得这个结果更新颖的方法；由风险投资的这种不确定性又可以推断出风险投资的高风险性，自然丰厚的回报也将伴随着高风险一起出现在风险投资中，正是这丰厚的回报吸引着广大的投资者，即使有很高的风险！是否谁都可以进行风险投资？进行风险投资应该具备什么必要条件？竞争对风险投资有什么影响，行业主管部门应该如何管理？这些问题对于风险企业的投资决策，对于行业风险投资的协调管理都是至关重要的，本文将在文献[1]和文献[2]的基础上，通过建立一类动态优化模型来进行研究, 以期回答这些问题。

记t 表示时间，T为一个风险投资项目周期的时间长度（在下面是待求量）；x (t)  表示投资者在t时刻的技术累积水平 。为建立动态的风险投资模型，先给出以下假设：

假设 1） u (t) 为风险投资者在t 时刻可以自主选择的投入；A 为为达到既定目的必须具备的技术累积水平，风险投资者的技术累积水平与他的投入有关也与他自身的组织结构有关；r 为社会贴现率； R 表示成功的风险投资者在时刻T 获得的收益（对特定项目A和R取常值）。

假设 2） 不存在任何风险投资项目的提前研究和准备，即

假设3） 技术累积水平越高，风险投资成功的可能性越大，风险投资中的竞争简化为科学技术累积水平的竞争。

假设 4） 在垄断环境下，假定只有一个投资者；在竞争环境下，假定只有个投资者（有限竞争），对于一个特定的风险投资项目，为在未来某一个时刻出现第一个成功者的概率密度函数，且，其中。

其中假设1）和2）为风险投资者的投资行为假设，假设3）和4）为风险投资市场假设。2   垄断环境下风险投资的动态优化模型

在垄断环境下，由假设4）知，只有一个投资者，所以只需要考虑项目的取舍问题。由假

设1）和2），我们可以用（1）来描述风险投资者的技术行为：

                            （1）                            (1)

其中  a > 0,是两个投资效果参数，进而我们设定 0 <  b < 1则 正好反映了风险投资的边际效应递减这样一个人所共知的不变规律, , （1）式描述的风险投资者的投入不仅要用于增加其技术累积水平，而且要用于维持其既有的技术累积水平（确保其已经具备的技术水平不因环境的科学技术水平的进步而落后），我们称这种投资为有摩擦的风险投资。

由假设1)及2）知，风险投资者所获得的收益扣除其投入的消耗后的贴现净收益是  Re,因此风险投资者所面临的问题是在既定的技术经济约束条件（1）下追求其最大的收益，即

,  x(0)=0,x(T)=A                     （2）                         

我们称之为风险投资者的行为模型，这是一个动态优化问题。为了求解这个优化问题，我们先给出最优控制的一个引理。

引理1   终端时间T 是自由的规划问题

的最优解满足的必要条件是

其中下同，其中第一式为最优控制方程，第二式为伴随方程，第三式为状态方

程，第四式为横截方程。

定理1 对于由（2）式描述的行为模型 ，风险投资者进行风险投资的必要条件是                                   (3) 

证明    记则，利用引理1可以得到规划问题（2）的解应该满足的条件是， 

                        (4)

分别称为控制方程，伴随状态方程，状态方程和横截条件。由（4）知

                                                   (5)

                                                       （6）

将（5）和（6）式带入状态方程并利用初始条件积分有    

                                 （7）                             

由终端条件可以得到  

                              （8）                                         

由（4）式的第四式

                       （9）  

联立（7）和（8）式，注意其中是待求量，消去其中一个，我们可以得到

故有

                        (10)

此即风险投资的研发周期，它既取决于该项投资所需的科学技术积累水平，也取决于风险投资者本身的技术行为结构的参数。

由于风险投资的研发周期T>0, 而0定理1告诉我们应该如何去选择风险投资项目，即使在垄断环境下，风险投资者也不可能随意投资，他应该根据项目的收益和对科学技术累积水平的需要去改变和调整自身的风险投资结构参数，即净投资效用参数，边际投资效应参数和科技水平保持参数，以及风险投资者对这些参数的具体调整能力，视具体情况决定是选择还是留待以后去开发这个项目。这样的例子很多，比如我们的载人 太空飞行，我们的长江三峡工程等等都可以说明这个问题。

推论1  风险投资者的最优投资策略是

                                   (11)

证明  由定理1知，当（4）式成立时，T>0, 从而规划问题有最优解，由（9）可得

以此代入（5）式并利用（6）式可得（11）式。

      推论1表明风险投资者在不同的时段内的投入是不同的，随着时间的增长，投入也不断增加，在成功阶段的投入最大。

3  竞争环境下的风险投资模型

处于信息时代的风险投资者，任何时候也不可能独占某一领域而不让他人涉足，为着某个相同的目的，会有若干个投资者对同一项目进行投资，只有当第一个成功者出现并获得了排他性的专利权后才会阻挡他人的进入，而一个人决定投资是他（或者她）断定此前还没有人先于他（或者她）获得成功。

由假设3）知，注意到，易知某个投资者认为在他拟投资的领域里第一个成功的投资者在未来任意时刻t出现的概率为

                                  (12)

其中s > 0是一个常数，当然对不同的投资者来说，依他们对市场的了解和认识的程度不同而不同。但对一个特定的风险投资者来说，s 保持不变。

按照（12）式的设定，一个风险投资者在时刻t决定进行投资的概率是在该时刻前还没有成功者出现的概率,沿用2中的符号，投资者在这种情况下获得最大期望收益的动态优化模型是

                                   (13)

利用（12）式将上式改写为

                          (14)

比较（14）和（2）式可以发现，除了目标函数中r+s 代替了r外，（14）和（2）式在形式上完全相同，我们可以很方便的得到下面的定理。

定理2   竞争环境下个体（单独的企业）进行风险投资的必要条件是

                                      (15)

证明：  在定理1的证明过程中，用 r+s 代替r即可得到（14）式。

类似于推论1的证明方法，可以得到推论2。

推论2   竞争环境下风险投资者的最优投资策略是

                                  (16)

4  讨论

4.1  竞争加快了研究与开发的进程

利用引理1求解（14）式给出的规划问题，可以得到风险投资者的研究与开发周期为

                    (17)

与（10）式比较可以发现，在其他条件不变的情况下，由（17）式计算出来的研发周期比用（10）式计算出来的研发周期要短，这是由于竞争的存在从而在（17）式中引入了竞争因子s造成的,T随着s的增加而减小，可见竞争加快了研发的进程，加速了新产品的出现，竞争----合理而有序的竞争是新产品的催化剂。表1给出了几组不同参数对于不同的竞争形势（即不同的r+s值）下的研发周期。

表1  不同竞争形势下的研发周期（单位为年）

表1中 的数据是在的情况下计算的，从（17）式可以看到，当时，风险投资的研发周期将缩短。事实上，参数描述了风险投资系统中的技术磨损，而技术磨损越快，产品的更新换代的时间亦即产品的寿命周期越短，新产品的研发周期也就越短。

4.2  竞争增加了社会成本

“天底下从来没有免费的午餐”，风险投资中引入竞争后研发时间的减少是以增加他的社会成本为代价的。由于各不同的投资者各具不同的技术行为参数，因而要准确地估计社会成本是不可能的，但是我们可以给出一个社会成本的上限，为此设在为着同一目的而进行风险投资（研究）的队伍有n个成员（有限竞争，现实的经济社会中并不存在真正意义上的竞争），而其中的第k个为优胜者，由（16）式知，优胜者的投资策略为       

/

而对其余n-1个投资者必有  ，否则第一个成功者将不是第 k个而是另有其人了。于是我们得到社会成本的上限

                                 （18）

这个成本完全是由于竞争引起的，在市场经济的条件下，竞争是不可避免的，但是无序的过度的竞争却是有百害而无一利的。作为竞争行业的管理者的重要任务之一就是如何协调各个投资者，使得既可以尽快的出成果，又能够有最低的社会成本（此时就是行业成本）；其次协调好行业内各个研发单位的风险投资方向，形成行业合力和整体优势，将是经济时代行业管理的一个永恒的课题。

4.3  竞争性行业协调的依据

从整个行业看，风险投资的社会成本应该小于从该投资中获得的收益R，由此及（18）式我们可以得到竞争性行业进行风险投资的必要条件并作为行业协调的依据:

              (19)

当a=1，b=1/2时由（17）式可以得到

                                    (20)

该式给出了竞争性行业中参与同一项目的风险投资者的数量上限，对于行业协调具有重要的意义。

4．4  垄断与竞争的关系

在（20）式中，若令s=0,n=1,则有与由（3）式得到的结论（）完全相同，可见竞争的结论是 具有一般性的结论，而没有竞争的情况仅仅是竞争情况下的一个特例，这就使得本文的两个不同环境下的结论统一起来了。结论有一点出人意外：垄断只是竞争的一个特例，垄断是竞争的一种特殊形式，垄断包含在竞争中？！

参考文献  [1]  Morton I.Kamien & Nancy L. Schwarts, 1991， Dynamic Optimization, Elsevier science publishing, CO , INC .New York， 46-56

[2]  刘凯，2001，产品开发时机对策分析，华中科技大学学报，Vol.29 (Sup.1)， 70-72