2020-2021学年上海市徐汇区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（每题2分，满分12分）.

1．一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（　　）

A．一、二、三象限    B．二、三、四象限    

C．一、三、四象限    D．一、二、四象限

2．下列方程，有实数解的是（　　）

A．    B．    C．（x+2）4﹣1＝0    D．

3．如果＝，那么下列结论中正确的是（　　）

A．||＝||    B．与是相等向量    

C．与是相反向量    D．与是平行向量

4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）

A．锄禾日当午    B．大漠孤烟直    C．手可摘星辰    D．黄河入海流

5．下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是（　　）

A．菱形    B．矩形    C．等腰梯形    D．平行四边形

6．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，下列判断中正确的是（　　）

A．如果BC＝AD，那么四边形ABCD是等腰梯形    

B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是菱形    

C．如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形    

D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形

二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7．将直线y＝﹣x﹣2沿y轴方向向上平移3个单位，所得新图象的函数表达式是 　       　．

8．已知一次函数y＝mx+1（m≠0），若y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是 　    　．

9．方程x3+4＝0的解是　     　．

10．方程＝3的解是 　     　．

11．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　    　．

12．如果关于x是方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于 　              　．

13．一个凸n边形的内角和是540°，则n＝　 　．

14．用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于y的整式方程是　          　．

15．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　                　．

16．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且∠BED＝∠BFD＝45°，那么四边形EBFD的面积是　                　．

17．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 　            　．

18．已知等边△ABC的边长为6，D是边AB上一点，DE∥BC交边AC于点E，以DE为一边在△ABC形内构造矩形DEFG．且DG＝DE．设AD＝x，BG＝y，则y关于x的函数关系式是 　                　（无需写出定义域）．

三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题7分，满分26分）

19．解方程组：．

20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E在对角线BD的延长线上，且DE＝OD．

（1）图中与相等的向量是 　                　；

（2）计算：﹣+；

（3）在图中求作﹣．

（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量）

21．小明和小杰从同一地点去青浦郊野公园，小明坐公交车去，小杰因为有事晚出发，乘出租车以1.6千米/分钟的平均速度沿路追赶．图中l1，l2分别表示公交车与图象解决下列问题：

（1）小明早到了 　 　分钟，公交车的平均速度为 　 　千米/分钟；

（2）小杰路上花费的时间是 　 　分钟，比小明晚出发 　 　分钟；

（3）求出租车行驶过程中s与t的函数关系式，并写出定义域．

22．小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J．

（1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率；

（2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由．

四、解答题（本大题共4题，第23题8分，第24、25题每题9分，第26题12分）

23．为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？

24．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF＝（AD+BC）．

（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；

（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．

25．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．

（1）求△BOC的面积；

（2）如果k的值为6（即反比例函数为y＝），求点A′的坐标；

（3）如果四边形ACBA′是梯形，求k的值．

26．已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF．

（1）如图1，如果BF＝2，求证：EF⊥DE；

（2）如图2，如果BF＝3，求证：∠DEF＝3∠CDE；

（3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由．

参

一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）（每题只有一个选项正确）

1．一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（　　）

A．一、二、三象限    B．二、三、四象限    

C．一、三、四象限    D．一、二、四象限

解：∵k＝﹣2＜0，

∴一次函数的图象经过第二四象限，

∵b＝1＞0，

∴一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，

∴一次函数y＝﹣2x+1的图象经过第一二四象限，

故选：D．

2．下列方程，有实数解的是（　　）

A．    B．    C．（x+2）4﹣1＝0    D．

解：A．∵+1＝0，

∴＝﹣1，

∵是非负数，

∴原方程无实数解，故本选项不符合题意；

B．＝，

方程两边都乘以x﹣2，得x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，

即原方程无实数解，故本选项不符合题意；

C．∵（x+2）4﹣1＝0，

∴（x+2）4＝1，

∴x+2＝，

∴x1＝﹣2+1＝﹣1，x2＝﹣2﹣1＝﹣3，即方程有实数解，故本选项符合题意；

D．∵+＝0，

∴x﹣4＝0且x﹣3＝0，

∴x不存在，

即原方程无实数解，故本选项不符合题意；

故选：C．

3．如果＝，那么下列结论中正确的是（　　）

A．||＝||    B．与是相等向量    

C．与是相反向量    D．与是平行向量

解：∵＝，

∴||＝||，EF∥MN．

∴四边形EMNF是平行四边形．

A、当平行四边形EMNF是矩形时，该结论才成立，故不符合题意．

B、由四边形EMNF是平行四边形得到：EM＝FN，且EM∥FN，则与是相等向量，故符合题意．

C、如图所示，与不是相反向量，故不符合题意．

D、如图所示，与不是平行向量，故不符合题意．

故选：B．

4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）

A．锄禾日当午    B．大漠孤烟直    C．手可摘星辰    D．黄河入海流

解：A、锄禾日当午是随机事件，故选项错误，不符合题意；

B、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；

C、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；

D、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；

故选：C．

5．下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是（　　）

A．菱形    B．矩形    C．等腰梯形    D．平行四边形

解：A．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

6．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，下列判断中正确的是（　　）

A．如果BC＝AD，那么四边形ABCD是等腰梯形    

B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是菱形    

C．如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形    

D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形

解：A． 如果BC＝AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；

B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误；

C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；

D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误；

故选：C．

二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7．将直线y＝﹣x﹣2沿y轴方向向上平移3个单位，所得新图象的函数表达式是 　y＝﹣x+1　．

解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝﹣x﹣2沿y轴方向向上平移3个单位所得函数的解析式为y＝﹣x﹣2+3，即y＝﹣x+1．

故答案为：y＝﹣x+1．

8．已知一次函数y＝mx+1（m≠0），若y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＞0　．

解：∵一次函数一次函数y＝mx+1（m≠0）中，y的值随x的增大而增大，

∴m＞0，

故答案是：m＞0．

9．方程x3+4＝0的解是　x＝﹣2　．

解：方程整理得：x3＝﹣8，

开立方得：x＝﹣2．

故答案为：x＝﹣2．

10．方程＝3的解是 　x＝﹣7　．

解：＝3，

两边平方，得2﹣x＝9，

解得：x＝﹣7，

经检验x＝﹣7是原方程的解，

故答案为：x＝﹣7．

11．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是　x＜4　．

解：函数y＝kx+b的图象经过点（4，0），并且函数值y随x的增大而减小，

所以当x＜4时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4．

故答案为：x＜4

12．如果关于x是方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于 　　．

解：∵方程x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4m＝0，

解得m＝，

故答案为：．

13．一个凸n边形的内角和是540°，则n＝　5　．

解：根据题意得，

（n﹣2）•180°＝540°，

解得n＝5，

故答案为：5．

14．用换元法解方程时，如果设时，则原方程可以化成关于y的整式方程是　y2﹣3y+2＝0　．

解：

设，则原式有y+＝3，整理得y2﹣3y+2＝0

故答案为：y2﹣3y+2＝0

15．我们古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：“九百九十九文钱，甜果苦果共买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”如果设买甜果x个，买苦果y个，那么列出的关于x，y的二元一次方程组是 　　．

解：∵甜果苦果共买千，

∴x+y＝1000；

∵甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱，

∴x+y＝999．

联立两方程组成方程组．

故答案为：．

16．已知边长为4的正方形ABCD，点E、F分别在CA、AC的延长线上，且∠BED＝∠BFD＝45°，那么四边形EBFD的面积是　16+16　．

解：如图连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠CAD＝∠CAB＝45°，

∴∠EAD＝∠EAB＝135°，

在△EAB和△EAD中，

，

∴△EAB≌△EAD，

∴∠AEB＝∠AED＝22.5°，EB＝ED，

∴∠ADE＝180°﹣∠EAD﹣∠AED＝22.5°，

∴∠AED＝∠ADE＝22.5°，

∴AE＝AD＝4，

同理证明∠DFC＝22.5°，FD＝FB，

∴∠DEF＝∠DFE，

∴DE＝DF，

∴ED＝EB＝FB＝FD，

∴四边形EBFD的面积＝•BD•EF＝×4（4+8）＝16+16．

故答案为16+16．

17．我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝12，且这两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较长的“中对线”的长度为 　6　．

解：设四边形ABCD的“中对线”交于点O，连接EF、FG、GH、HE，

∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6，

同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，

∴四边形EFGH为菱形，∠EFG＝60°，

∴∠EFO＝30°，

∴OE＝EF＝3，

在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，

∴FH＝6，即该四边形较长的“中对线”的长度为6，

故答案为：6．

18．已知等边△ABC的边长为6，D是边AB上一点，DE∥BC交边AC于点E，以DE为一边在△ABC形内构造矩形DEFG．且DG＝DE．设AD＝x，BG＝y，则y关于x的函数关系式是 　y＝　（无需写出定义域）．

解：如图

过点G作GH⊥AB于H，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∵DE∥BC，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE＝AD＝x，

∵DG＝DE，

∴DG＝x，

在Rt△DGH中

∠GDH＝90°﹣60°＝30°，

∴GH＝x，DH＝x，

在Rt△BHG中，

BG＝y，BH＝6﹣x﹣x，

∴y2＝（x）2+（6﹣x﹣x）2

∴y＝．

故答案为：y＝．

三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题7分，满分26分）

19．解方程组：．

解：x2﹣5xy﹣6y2＝0可化为（x﹣6y）（x+y）＝0，

∴x﹣6y＝0或x+y＝0，

x2﹣4xy+4y2＝1可化为（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）＝0，

∴x﹣2y+1＝0或x﹣2y﹣1＝0，

原方程组相当于以下四个方程组：①，②，③，④，

解①②③④分别得：，，，，

∴原方程组的解为：或或或．

20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E在对角线BD的延长线上，且DE＝OD．

（1）图中与相等的向量是 　，　；

（2）计算：﹣+；

（3）在图中求作﹣．

（保留作图痕迹，不要求写作法，请指出哪个向量是所求作的向量）

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∵DE＝OD，

∴OB＝OD＝DE，

∴与相等的向量为，．

故答案为：，．

（2）连接EC．

∵﹣+＝+﹣＝﹣＝．

∴﹣+＝．

（3）如图，延长CA到T，使得AT＝OA，连接TE.即为所求．

21．小明和小杰从同一地点去青浦郊野公园，小明坐公交车去，小杰因为有事晚出发，乘出租车以1.6千米/分钟的平均速度沿路追赶．图中l1，l2分别表示公交车与图象解决下列问题：

（1）小明早到了 　5　分钟，公交车的平均速度为 　1　千米/分钟；

（2）小杰路上花费的时间是 　25　分钟，比小明晚出发 　20　分钟；

（3）求出租车行驶过程中s与t的函数关系式，并写出定义域．

解：（1）根据图象可知，小明早到了：45﹣40＝5（分钟），

公交车的平均速度为：40÷40＝1（千米/分钟），

故答案为：5；1；

（2）小杰路上花费的时间是：40÷1.6＝25（分钟），

小杰比小明晚出发：45﹣25＝20（分钟），

故答案为：25；20；

（3）由公交车的平均速度为1千米/分钟，可得l1对应的表达式为s＝t（0≤t≤40）；

设l2对应的表达式为s＝kt+b（k≠0），由题意得：

，

解得，

∴l2对应的表达式为s＝1.6t﹣32（20≤t≤45）．

22．小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J．

（1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率；

（2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由．

解：（1）小明抽到的牌恰好是“2”的概率＝；

（2）小明获胜的机会大．

理由如下：

画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中小杰获胜的结果数为3，小明获胜的结果数为4，

所以小杰获胜的概率＝＝；小明获胜的概率＝，

而＜，

所以小明获胜的机会大．

四、解答题（本大题共4题，第23题8分，第24、25题每题9分，第26题12分）

23．为响应国家号召，全体公民接种疫苗，提高对“新冠”病毒的免疫功能．现某大型社区有6000人需要接种疫苗，为了尽快完成该项任务，防疫部门除固定接种点外还增加了一辆流动疫苗接种车，实际每日接种人数比原计划多了250人，结果提前了2天完成全部接种任务．求原计划每天接种人数是多少？

解：设原计划每天接种人数为x人，则实际每日接种人数为（x+250）人，

由题意得：＝2，

解得：x＝750或x＝﹣1000（舍去），

经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天接种人数为750人．

24．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF＝（AD+BC）．

（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；

（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．

【解答】证明：（1）连接EG交AF于点O，

∵E、G分别是AB、CD的中点，

∴EG是梯形ABCD的中位线，

∴EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，

∵BF＝（AD+BC），

∴EG＝BF，

∴四边形BEGF是平行四边形，

∴BE＝GF，BE∥GF，

∵AE＝BE，

∴AE＝GF，

∴四边形AEFG是平行四边形；

（2）∵四边形AEFG是矩形，

∴OA＝OG，

∴∠OAG＝∠OGA，

∵AD∥EG，

∴∠DAG＝∠OGA，

∴∠OAG＝∠DAG，即AG平分∠FAD．

25．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．

（1）求△BOC的面积；

（2）如果k的值为6（即反比例函数为y＝），求点A′的坐标；

（3）如果四边形ACBA′是梯形，求k的值．

解：（1）因为直线BC：y＝﹣2x﹣4，

∴B（0，﹣4），C（﹣2，0），

∴OC＝2，OB＝4，

∴三角形BOC的面积＝OB×OC＝×4×2＝4．

答：△BOC的面积是4；

（2）∵由旋转知，∠CBA＝∠C'BA'，

∴BC、BA'关于y轴对称，设BA'与x轴交于点D，

∴OD＝OC＝2，OB＝4，

∴kBA'＝tan∠A'Dx＝tan∠ODB＝＝2，

∴直线BA'＝y＝2x﹣4①，

又反比例函数：y＝②，

由①②解得x＝3或x＝﹣1，

得A'（3，2）或（﹣1，﹣6），

由于点A'在第一象限，点（﹣1，﹣6）不合题意，舍去，

所以A'的坐标（3，2）；

（3）

若四边形ACBA'为梯形，注意到点A在y轴的正半轴．

①证明CB与AA'不平行；

BA＝BA'，在△ABA'中，

令∠ABA'＝α，则∠BA'A＝＝90°﹣，

又∠CBA'＝2∠ABA'＝2α，

则∠BA'A+∠CBA'＝（90°﹣）+2α＝90°+α≠180°，

（由于在△CBO中，∠CBO≠60°，即α≠60°），

所以CB与AA'不平行；

②当CA∥BA'时，可得∠CBA＝∠ABA'＝∠CAB，

即CB＝CA，A（0，4），

又BC＝BC'＝2，B（0，﹣4），

所以OC'＝2﹣4，

过A作BC垂线，垂足为M，

过A'作BC'垂线，垂足为M'，

在△AMB中，AM与水平线的夹角、BM与y轴的夹角是相等的，

则kAM＝tan∠MBA＝，又kBC＝﹣2，

由直线AM，BC的解析式组成方程组，

，

解得M（﹣，），

又A（0，4），C（﹣2，0），

所以AM＝，CM＝，

由旋转易得△A'M'C'≌△AMC，

∴A'M'＝AM＝，C'M'＝CM＝，

又OC'＝2﹣4，所以OM'＝OC'+C'M'＝﹣4，

∴A'（，﹣4），

又点A'在反比例函数y＝图象上，

∴k＝xy＝（﹣4）＝．

答：k的值是．

26．已知：正方形ABCD的边长为8，点E是BC边的中点，点F是边AB上的动点，联结DE、EF．

（1）如图1，如果BF＝2，求证：EF⊥DE；

（2）如图2，如果BF＝3，求证：∠DEF＝3∠CDE；

（3）联结DF，设DF的中点为G，四边形AFEG是否可能为菱形？请说明理由．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝8，

∵点E是BC边的中点，

∴BE＝CE＝4，

∵BF＝2，

∴＝，

∴＝，

∴△FBE∽△ECD，

∴∠FEB＝∠EDC，

∵∠EDC+∠DEC＝90°，

∴∠FEB+∠DEC＝90°，

∴∠FED＝90°，

∴EF⊥DE．

（2）证明：如图2中，过E作EH⊥AD于H，连接AE．

∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H，

∴AB∥EH∥CD，

∴∠CDE＝∠DEH，

∵E是BC中点，

∴AH＝DH，

∴EH垂直平分AD，

∴∠AEH＝∠DEH，

∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH，

Rt△BEF中，BF＝3，BE＝4，

∴EF＝＝＝5，

∴AF＝AB﹣BF＝5，

∴EF＝AF，

∴∠FAE＝∠FEA，

而∠FAE＝∠AEH，

∴∠FEA＝∠AEH，

∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH＝∠FEA，

∴∠DEF＝3∠CDE．

（3）解：结论：四边形AFEG不可能是菱形．

理由：连接AE．假设四边形AFEG是菱形，则AE⊥DF，

∴∠BAE+AFD＝90°，∠AFD+∠ADF＝90°，

∴∠BAE＝∠ADF，

∵AB＝DA，∠B＝∠DAF＝90°，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴BE＝AF，

∵BE＝EC，BC＝AB，

∴AF＝BF，

在Rt△BEF中，EF＞BF，

∴EF＞AF，这与假设矛盾，

∴四边形AFEG不可能是菱形．