同济版高数第二学期试题

一、填空题：（请将正确答案填在横线上。每小题2分，共10分）

1. 点到平面的距离.  

2. 设，则.

3.函数=在处方向导数的最大值等于. 

4. 交换二次积分的次序=.

5. 函数的麦克劳林公式中项的系数是  .

二、选择题：（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的填在括号内. 每小题2分，共20分）

1.的任意点集的全部边界点所组成的集合 ( B   ).

（A）是开集；                       （B）是闭集；

（C）既是开集又是闭集；             （D）两者都不是 .

2.在点处两个偏导数存在是在处可微的(  A  ).

（A）必要条件；                     （B）充分条件；

（C）充分必要条件；                 （D）以上都不是.   

3. 非齐次线性微分方程  的特解形式(  D  ).

(A)                      (B)；

(C)；                (D)    .

4. 设上半球, 则以下等式错误的是(  C  ).

（A）；                  （B）；

（C）；                  （D）  .

5. 设方程确定了函数，则在点处的全微分（  D ）.

（A）                      （B） 

（C）                     （D）

6. 在下列级数中，唯有（   C  ）是收敛的.

（A）  （B）    （C）    （D）

7. 设D由x轴，围成，则（  （B）   ）.

（A）              （B）

（C）               （D）

8. 设可微函数f(x, y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (  A  ) .

 (A)在处的导数等于零  （B）在处的导数大于零

(C)在处的导数小于零    (D)在处的导数不存在

9. 幂级数收敛域是 (  A  ). 

( A ) [-3,3)           ( B )  [-3, 3]         ( C ) (－3, 3)        ( D)  (-3, 3]  

10. 微分方程的解是(   A   ) .

（A）       （B）       （C）       （D） 

三、计算题：（每小题7分, 共56分）

1. 设，求dz . 

解：设   

2. 求函数  的极值.

解   解得驻点; 

; 故有极小值 

3. 计算二重积分，其中是由直线

所围成的平面区域.

    解：积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，

“先后”积分较容易，所以   

4. 计算，其中为抛物线  从点到点的一段弧。

解     积分与路径无关。

选取路径   

故      

5.设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.

解:  所求面积为

6. 判断级数  是绝对收敛还是条件收敛还是发散？ 

解： 

当时，p级数发散，原级数不绝对收敛。

而是交错级数，且

故条件收敛。

7. 设将展开为余弦级数，求.

解: 根据余弦级数的定义，其系数计算公式为，则

            =

            ==1 

8．求一阶常微分方程的特解.

四、应用题：（本题8分）

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和

，需求函数分别为，；总成本函数为。试问：厂家如何确定两个市场的售价，使其所获总利润最大？ 

解  由已知条件

收益函数 

利润函数 

于是： 

由的唯一驻点

根据问题的实际意义，存在最大值，故是的最大值点，

即：两个市场的售价分别为和时，可获最大利润，最大利润.

五、证明题：（本题6分）：

设，求证： 

证明：