北师大数学九年级下册二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如〔是常数，〕的函数，叫做二次函数。        

   这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的构造特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的根本形式

1. 二次函数根本形式：的性质：

a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。

上加下减。

左加右减。

  1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形态不变，将其顶点平移到处，详细平移方法如下：

  2. 平移规律

    在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移〞．

概括成八个字“左加右减，上加下减〞．

   方法二：

⑴沿轴平移:向上〔下〕平移个单位，变成

〔或〕

⑵沿轴平移：向左〔右〕平移个单位，变成〔或〕

四、二次函数及的比较

从解析式上看，及是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及轴的交点、以及关于对称轴对称的点、及轴的交点，〔假设及轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及轴的交点，及轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：〔，，为常数，〕；

2. 顶点式：〔，，为常数，〕；

3. 两根式：〔，，是抛物线及轴两交点的横坐标〕.

留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象及各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，明显．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，确定了抛物线开口的大小和方向，的正负确定开口方向，的大小确定开口的大小．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，确定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好及上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，确定了抛物线对称轴的位置．

的符号的断定：对称轴在轴左边那么，在轴的右侧那么，概括的说就是“左同右异〞

总结：

  3. 常数项

     ⑴ 当时，抛物线及轴的交点在轴上方，即抛物线及轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线及轴的交点为坐标原点，即抛物线及轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线及轴的交点在轴下方，即抛物线及轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，确定了抛物线及轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：

1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；

3. 抛物线及轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是； 

关于轴对称后，得到的解析式是；

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是； 

关于轴对称后，得到的解析式是；

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

  4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

  5. 关于点对称   

关于点对称后，得到的解析式是

    根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数及一元二次方程：

1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及轴交点状况〕：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特别状况.

图象及轴的交点个数：

① 当时，图象及轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的间隔 . 

② 当时，图象及轴只有一个交点； 

③ 当时，图象及轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 

2. 抛物线的图象及轴肯定相交，交点坐标为，； 

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象及轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置推断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号推断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：

十一、函数的应用

二次函数应用

二次函数考察重点及常见题型

1．考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中，

如：以为自变量的二次函数的图像经过原点， 那么的值是          

2．综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，

如：如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是〔     〕

        y               y             y               y 

       1                              1

      0    x          1  x        0    x          0 -1  x

     A               B             C               D

3．考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，

如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4．考察用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

抛物线〔a≠0〕及x轴的两个交点的横坐标是－1、3，及y轴交点的纵坐标是－

〔1〕确定抛物线的解析式；〔2〕用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 〔1〕二次函数的图像如图1，那么点在〔  〕

         A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

    〔2〕二次函数2〔a≠0〕的图象如图2所示，那么以下结论：①a、b同号；②当1和3时，函数值相等；③40；④当2时，x的值只能取0.其中正确的个数是〔  〕

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

                       (1)                         (2)

【点评】弄清抛物线的位置及系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.二次函数2的图象及x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4O，其中正确结论的个数为(  )

  A 1个  B. 2个  C. 3个  D．4个

答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.：关于x的一元二次方程23的一个根为2，且二次函数2的对称轴是直线2，那么抛物线的顶点坐标为(  )

    A(2，-3)    B.(2，1)    C(2，3)    D．(3，2)

答案：C

例4、如图〔单位：m〕，等腰三角形以2米/秒的速度沿直线L向正方形挪动，直到及重合．设x秒时，三角形及正方形重叠部分的面积为2．

〔1〕写出y及x的关系式；

〔2〕当2，3.5时，y分别是多少？

〔3〕当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形挪动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、抛物线2．

〔1〕用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

〔2〕假设该抛物线及x轴的两个交点为A、B，求线段的长．

【点评】此题〔1〕是对二次函数的“根本方法〞的考察，第〔2〕问主要考察二次函数及一元二次方程的关系．

例6、 “函数的图象经过点A〔c，－2〕，   

求证：这个二次函数图象的对称轴是3。〞题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法识别的文字。

〔1〕根据和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？假设能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；假设不能，请说明理由。

〔2〕请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完好。

点评：  对于第〔1〕小题，要根据和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是3〞当作来用，再结合条件“图象经过点A〔c，－2〕〞，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以可以求出题中的二次函数解析式。对于第〔2〕小题，只要给出的条件可以使求出的二次函数解析式是第〔1〕小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个随意点的坐标，可以给出顶点的坐标或及坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答]  〔1〕根据的图象经过点A〔c，－2〕，图象的对称轴是3，得

解得

所以所求二次函数解析式为图象如下图。

〔2〕在解析式中令0，得

所以可以填“抛物线及x轴的一个交点的坐标是〔3+〞或“抛物线及x轴的一个交点的坐标是

令3代入解析式，得

所以抛物线的顶点坐标为

所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。

函数主要关注：通过不同的途径〔图象、解析式等〕理解函数的详细特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“改变过程中变量之间关系〞的数学模型；浸透函数的思想；关注函数及相关学问的联络。

用二次函数解决最值问题

例1边长为4的正方形截去一个角后成为五边形〔如图〕，其中2，1．试在上求一点P，使矩形有最大面积．

【评析】此题是一道代数几何综合题，把相像三角形及二次函数的学问有机的结合在一起，能很好考察学生的综合应用实力．同时，也给学生探究解题思路留下了思维空间．

例2  某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕及产品的日销售量y〔件〕之间的关系如下表：

    〔1〕求出日销售量y〔件〕及销售价x〔元〕的函数关系式；

    〔2〕要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

    【解析】〔1〕设此一次函数表达式为．那么 解得1，40，即一次函数表达式为40．

    〔2〕设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

         〔10〕〔40〕2+50400〔25〕2+225．

    产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

    【点评】解决最值问题应用题的思路及一般应用题类似，也有区分，主要有两点：〔1〕设未知数在“当某某为何值时，什么最大〔或最小、最省〕〞的设问中，“某某〞要设为自变量，“什么〞要设为函数；〔2〕问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数

A.(2,－11)          B.〔－2，7〕        C.〔2，11〕        D. 〔2，－3〕

2. 把抛物线

A.       

和

的图象如下图,那么以下结论: ①同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 

 A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

的顶点坐标〔-1，-3.2〕及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是〔　　　〕

Ａ．－１.３          2.3         0.3         3.3　

6. 二次函数的图象如下图，那么点在〔　 〕

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限　　  D．第四象限

A.0个             B.1个            C.2个.          3 个

8.抛物线过点A(2,0)(-1,0),及

A.    

C. 或  或

二、填空题

9．二次函数的对称轴是，那么。

10．抛物线2〔3〕²+5，假如y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.

11．一个函数具有以下性质：①图象过点〔－1，2〕，②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是               〔只写一个即可〕。

12．抛物线的顶点为C，直线过点C，那么这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为         。

13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,那么                    。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　    (π取3.14).　　　　

三、解答题：

,图象经过(16),且及轴的交点为(0,).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0

(3)当x在什么范围内改变时,这个函数的函数值随x的增大而增大

16.某种爆竹点燃后，其上上升度h〔米〕和时间t〔秒〕符合关系式 〔0〔1〕这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

〔2〕在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 

17.如图，抛物线经过直线及坐标轴的两个交点A、B，此抛物线及轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

〔1〕求此抛物线的解析式；

〔2〕点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料〔这里的代销是指厂家先免费供应货源，待货物售出后再进展结算，未售出的由厂家负责处理〕．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为进步经营利润，打算实行降价的方式进展促销．经市场调查发觉：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x〔元〕，该经销店的月利润为y〔元〕．

〔1〕当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

〔2〕求出y及x的函数关系式〔不要求写出x的取值范围〕；

〔3〕该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

〔4〕小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．〞你认为对吗？请说明理由．

练习试题答案

一，选择题、

1．A  2．C  3．A  4．B   5．D   6．B    7．C   

二、填空题、

 8．  9．＜-3  10．如

       11．1    12．-8  7   13．15

三、解答题

14．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得 

(2)或

15．〔1〕由得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．〔2〕由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

16．〔1〕直线及坐标轴的交点A〔3，0〕，B〔0，－3〕．那么解得

所以此抛物线解析式为．〔2〕抛物线的顶点D〔1，－4〕，及轴的另一个交点C〔－1，0〕.设P，那么.化简得

当＞0时，得  ∴P〔4，5〕或P〔－2，5〕

当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满意条件的点的坐标为〔4，5〕或〔－2，5〕．

17．〔1〕=60〔吨〕．〔2〕，化简得： ．〔3〕．

红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． 

〔4〕我认为，小静说的不对．  理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，

 当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 

方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．