2020年中考数学 压轴题汇编 二次函数综合(含答案)

(1)求A、B两点的坐标；

(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA 相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；(3)当PC＝CO时，求P点坐标．

第1题图

解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴点B坐标为(4，0)，

设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x，

解得x1＝3，x2＝0(舍去)，∴点A的坐标为(3，3);

(2)如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，

第11题解图①

∵点A坐标为(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x轴，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．

∵PE与线段OA相交，

∴0≤x≤1，

由PC＝－x2＋3x＝－(x－3

2)2＋9

4

可知，抛物线的对称轴为直线

x＝3

2

，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，

∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝22，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22，

∴△PCE周长的最大值为4＋22，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴点P的坐标为(1，3)；

(3)设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，

第1题解图②

①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝2x，

∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝2x，

解得x1＝3－2，x2＝0(舍去)．

把x＝3－2代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－2)2＋4(3－2)＝1＋22，

∴P1(3－2，1＋22)，

②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝2x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝2x，

解得x1＝3＋2，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋2代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，

∴P2(3＋2，1－22)．

综上所述，P点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于

A(－1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD ＝∠ACB，求点P的坐标；

(3)点Q是直线BC上方抛物线上的动点，求点Q到直线BC 的距离最大时点Q的坐标.

第2题图

解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (－3，0)， ∴01093b c b c =--+⎧⎨=--+⎩

，解得43b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－4x －3；

(2)由y ＝－x 2－4x －3可得D (－2，1)，C (0，－3)，

∴OB ＝3，OC ＝3，OA ＝1，AB ＝2，可得△OBC 是等腰直角三角形，

∴∠OBC ＝45°，CB ＝32，

如解图①，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，

∴AF ＝12

AB ＝1，

第2题解图①

设直线BC 与对称轴的交点为E ，连接AE ，AC ， ∵EF ＝1＝AF ，则有∠BAE ＝∠OBC ＝45°，

∴∠AEB ＝90°，∴BE ＝AE ＝2，CE ＝22.

在△AEC 与△AFP 中，∠AEC ＝∠AFP ＝90°，∠ACE ＝∠APF ，

∴△AEC ∽△AFP ， ∴AE CE AF PF =，即2221PF =，解得PF ＝2.

∵点P 在抛物线的对称轴上，

∴点P 的坐标为(－2，2)或(－2，－2)；

(3)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d (k ≠0)，直线BC 经过B (－3，0)，C (0，－3)，

∴033k d d =-+⎧⎨-=⎩，解得13k d =-⎧⎨=-⎩

， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x －3.

如解图②，设点Q (m ，n )，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，并过点Q 作QS ∥y 轴交直线BC 于点S ，则S 点坐标为(m ，－m －

3)，

第2题解图②

∴QS ＝n －(－m －3)＝n ＋m ＋3.

∵点Q (m ，n )在抛物线y ＝－x 2－4x －3上，

∴n ＝－m 2－4m －3，

∴QS＝－m2－4m－3＋m＋3＝－m2－3m＝－(m＋3

2)2＋9

4

，

当m＝3

2

时，QS有最大值94.

∵BO＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝45°，

∵QS∥y轴，

∴∠QSH＝∠OCB＝45°，

∴△QHS是等腰直角三角形，

∴当斜边QS最大时，QH最大．

∵当m＝－3

2

时，QS最大，

此时n＝－m2－4m－3＝－9

4＋6－3＝3

4

，

即Q(－3

2，3

4

)，

∴当点Q的坐标为(－3

2，3

4

)时，点Q到直线BC的距离最大.

3.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－3

4

x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE＝5EF，求m的值；

(3)若点E ′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E ′落在y 轴上？若存在，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点． ∴

2

20(1)055b c b c

⎧=---+⎪⎨=-++⎪⎩，解得4

5

b c =⎧⎨

=⎩

， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5； (2)∵点P 的横坐标为m ，

∴P (m ，－m 2＋4m ＋5)，E (m ，－34

m ＋3)，F (m ，0)． 又∵点P 在x 轴上方，要使PE ＝5EF ，点P 应在y 轴右侧， ∴0∴PE ＝－m 2＋4m ＋5－(－34m ＋3)＝－m 2＋194

m ＋2. 分两种情况讨论：

①当点E 在点F 上方时，EF ＝－34

m ＋3.

∵PE ＝5EF ，

∴－m 2＋194m ＋2＝5(－3

4

m ＋3)， 即2m 2－17m ＋26＝0，解得m 1＝2，m 2＝132(舍去)； ②当点E 在点F 下方时，EF ＝34m －3. ∵PE ＝5EF ，

∴－m 2＋194m ＋2＝5(34

m －3)， 即m 2－m －17＝0，

解得m 3＝1692+，m 4＝1692-(舍去)； 综上，m 为2或1692+；

(3) 存在．点P 的坐标为P 1(－12，114

)，P 2(4，5)，P 3(3－11

，

2

11

－3)．

【解法提示】假设存在点P 满足题意，作出示意图如解图，

第3题解图

∵点E 和点E ′关于直线PC 对称， ∴∠E ′CP ＝∠ECP .

又∵PE ∥y 轴，

∴∠EPC ＝∠E ′CP ＝∠PCE ， ∴PE ＝EC . 又∵CE ＝CE ′，

∴四边形PECE ′为菱形． 过点E 作EM ⊥y 轴于点M ， ∴△CME ∽△COD ， ∴

OD CD

ME CE

=，

由直线CD 的解析式为y =43-x +3可得OD =4，OC =3，由勾股定理得CD =5，

∴CE

m 54=

, ∴CE ＝|54m |. ∵PE ＝CE ，

∴－m 2＋194m ＋2＝54m 或－m 2＋194m ＋2＝－54

m (－12，m 2＝4，m 3＝3－

11

，m 4＝3＋

11

(舍去)，

∴点P 的坐标为P 1(－12，11

4

)，P 2(4，5)，P 3(3－11

，2

11

－3)．

4.如图，过抛物线y ＝14x 2－2x 上一点A 作x 轴的平行线，交抛

物线于另一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2. (1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标；

(2)在AB 上任取一点P ，连接OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D ，

①连接BD ，求BD 的最小值；

②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式．

第4题图

解：(1)由抛物线y ＝14x 2－2x 得y ＝1

4(x －4)2－4， ∴抛物线的对称轴为x ＝4.

∵点A 在抛物线上且横坐标为－2，∴点A 的纵坐标为y ＝

1

4×(－2)2－2×(－2)＝5，即点A 的坐标为(－2，5)， ∵AB ∥x 轴，∴点B 与点A 关于抛物线对称轴x ＝4对称， ∴点B 坐标为(10，5)； (2) ①如解图①，

∵点C是AB与y轴的交点，

∴点C的坐标为(0，5)，

∵点C与点D关于OP对称，

∴OD＝OC＝5，

连接BO，当点D不在OB上时，根据三角形三边关系可知BD>OB－OD，

当点D落在OB上时，BD＝OB－OD，此时BD最小，

∵BO＝102＋52＝55，OD＝OC＝5，

∴BD的最小值为55－5；

②如解图②，设对称轴与AB交于点M，与x轴交于点N，

第4题解图②

当点P在对称轴左侧时，连接OD，在Rt△ODN中，ON＝4，

OD ＝5，由勾股定理得DN ＝OD 2－ON 2＝3，所以点D 的坐标为(4，3)，DM ＝2，

设CP ＝x ，在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM 2＋MD 2＝PD 2，由点C 与点D 关于OP 对称得PC ＝PD ，即(4－x )2＋22＝x 2，

解得x ＝52，所以点P 的坐标为(52

，5)， 设直线PD 的解析式为y ＝mx ＋n ，将点P ，D 的坐标代入得

⎩⎪⎨⎪⎧ 52 m ＋n ＝5 4m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－43 n ＝253

， ∴PD 的解析式为y ＝－43x ＋253

； 当点P 在对称轴左侧时，点D 落在x 轴上方，符合题意；当点P 在对称轴的右侧时，点D 落在x 轴的下方，不符合题意．

5.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点M ，使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图

解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9＋3b ＋c ＝0 1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4 c ＝3

， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；

(2)令x ＝0，则y ＝3，∴C (0，3)，

设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (3，0)，C (0，3)代入直线AC 解析式得：

⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0 b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1 b ＝3

， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，

设点P (x ，x 2－4x ＋3)，

∵PD ∥y 轴，

∴点D (x ，－x ＋3)，

∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2

＋3x ＝－(x －32)2＋94， ∵a ＝－1<0，

∴当x ＝32时，线段PD 的长度有最大值，最大值为94；

(3)存在．

由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB ，

∴MA ＝MB ，

当M 、B 、C 不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得， |MA －MC |＝|MB －MC |当M 、B 、C 三点共线时，

|MA －MC |＝|MB －MC |＝BC ，

∴|MA －MC |≤BC ，即当点M 在BC 的延长线上时， |MA －MC |最大，最大值即为BC 的长度，

设直线BC 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，

∵B (1，0)，C (0，3)，在直线BC 上，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＋b 1＝0 b 1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－3 b 1＝3

， ∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3，

∵抛物线y =x 2-4x +3的对称轴为直线x =2，

∴当x ＝2时，y ＝－3×2＋3＝－3，

∴点M (2，－3)，

即抛物线对称轴上存在点M (2，－3)，使|MA －MC |最大． 6.如图①，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C .直线y ＝x ＋2经过点A ，交抛物线于点D ，AD 交y 轴于点E ，连接CD ，且CD ∥x 轴．

第6题图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，过点A 的直线交抛物线第四象限于点F ，若tan ∠

BAF ＝12，求点F 的坐标；

(3)在(2)的条件下，P 为直线AF 上方抛物线上一点，过点P 作PH ⊥AF ，垂足为H ，若HE ＝PE ，求点P 的坐标． 解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与y 轴交于点C ，

当x ＝0时，y ＝5，即C (0，5)，

∵CD ∥x 轴，

∴D 点的纵坐标为5，

∴当y ＝5时，x ＋2＝5，解得x ＝3， ∴D (3，5)，

当y ＝0时，x ＝－2，

∴A (－2，0)，

将A (－2，0)，D (3，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋5中， 得⎩⎪⎨⎪⎧

4a －2b ＋5＝09a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32

，

∴抛物线的解析式为y ＝－1

2x 2＋3

2x ＋5；

(2)设F (t ，－1

2t 2＋3

2t ＋5)，

如解图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则G (t ，

0)，

第6题解图①

由tan ∠BAF ＝FG AG ＝12

，得AG ＝2FG ， 即t －(－2)＝2×[0－(－12t 2＋32t ＋5)]，

化简，得t 2－4t －12＝0，

解得t 1＝－2，t 2＝6，

∵点F 在第四象限，

∴t >0，

∴t ＝6，即F 点坐标为(6，－4)；

(3)∵A (－2，0)，F (6，－4)，

设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋b ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b －4＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－1

， ∴直线AF 的解析式为y ＝－12

x －1. ∵直线AD 的解析式y ＝x ＋2交y 轴于E 点， ∴当x ＝0时，y ＝2，即E 点坐标为(0，2)； 如解图②，设直线PE 交AF 于点Q ，

第6题解图②

∵HE ＝PE ，

∴∠EHP ＝∠EPH ，

∵PH ⊥AF 于点H ，

∴∠PHA ＝90°，

∴∠EPH ＋∠PQH ＝90°，

∠EHP ＋∠EHQ ＝90°，

∴∠PQH ＝∠EHQ ，

∴EQ ＝EH ，

∴EQ ＝EP ，即E 为PQ 的中点，

设P (m ，－12m 2＋32m ＋5)，

∵E (0，2)，

∴Q (－m ，12m 2－32

m －1)， ∵点Q 在直线AF 上，

2m

2－

3

2m－1＝－

1

2(－m)－1，

整理，得m2＝4m，

解得m1＝0，m2＝4，

当m1＝0时，P1(0，5)，

当m2＝4时，P2(4，3)，

综上所述，点P的坐标为(0，5)或(4，3)．

7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；

(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3， ∴C 点坐标为(0，3)，E 点坐标为(2，3)．

将C 、E 点坐标代入抛物线解析式y ＝－x 2＋bx ＋c 得：

⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3－4＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3

. ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3；

(2)由(1)得y ＝－x 2＋2x ＋3，

令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，

解得x 1＝－1，x 2＝3，

∴A (－1，0)，B (3，0)，

∵AO ＝1，CO ＝3，

∴在Rt △AOC 中，

AC ＝OA 2＋OC 2＝10，

∵CO ＝BO ＝3，

∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，

∴FM ＝BF ＝1，

∵RO ∥MF ，∠RAO ＝∠MAF ，

∴△ARO ∽△AMF ， ∴RO MF ＝AO AF ，即RO 1＝13

， 解得RO ＝13，

∴CR ＝OC －OR ＝3－13＝83，

AR ＝OA 2＋OR 2＝12

＋（13）2＝103， ∴△ACR 的周长为：AC ＋CR ＋AR ＝10＋83＋103＝8＋4103

；（3）如解图①，取OF 中点A ′，连接A ′G 交直线EF 的延长线于点H ，过点H 作HP ′⊥y 轴于点P ′，连接AP ′，

第7题解图①

则当P 在P ′处时，使AP ＋PH ＋HG 最小，

∵A ′为OF 中点，

∴A ′坐标为(1，0)，

设直线A ′G 的解析式为y ＝kx ＋a ，

将点G (4，－5)，A ′(1，0)分别代入得

⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4k ＋a 0＝k ＋a ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53a ＝53

， ∴直线A ′G 的解析式为：y ＝－53x ＋53.

令x ＝2，得y ＝－103＋53＝－53，

∴点H 的坐标为(2，－53)，

∴符合题意的点P 的坐标为(0，－53)．

8.如图，△MCB 的顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点M ，C ，B ，且点M 为抛物线的顶点，点A (－1, 0)是抛物线与x 轴负半轴的交点，若线段AB ＝6，∠ABC ＝45°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D 为线段BM 上任意一点(点D 不与点B 重合)，过点D 作垂直于x 轴的直线x ＝t ，交抛物线于点E ，交线段BC 于点F .

①求当t 为何值时，线段DE 有最大值？最大值是多少？

②是否存在这样的点D ，使得ED FD ＝12？若存在，求出D 点的坐

标；若不存在，请说明理由．

第8题图

解：(1)∵A (－1，0)，AB ＝6，

∴OB ＝5，

∴点B 的坐标为(5，0)，

∵∠ABC ＝45°，

∴CO ＝BO ＝5，

∴点C 的坐标是(0，5)，

把A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝025a ＋5b ＋c ＝0c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝4c ＝5

， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；

(2)①由抛物线y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9得顶点M (2，9)， 设BM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)，将点B 、点M 的坐标代入可得

⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b 1＝02k ＋b 1＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3

b 1＝15，

∴直线BM 的解析式为y ＝－3x ＋15，

∵EF ⊥AB ，

∴x E ＝x D ＝t ，

∴E (t ，－t 2＋4t ＋5)，D (t ，－3t ＋15)，

∴ED ＝－t 2＋4t ＋5－(－3t ＋15)＝－t 2＋7t －10＝－(t －72)2＋

94，

∵－1<0，

∴当t ＝72时，ED 最大＝94；

②存在．

理由如下：

设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，

将点B 、点C 的坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧

5m ＋n ＝0n ＝5，

解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝5

， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5，

∴F (t ，－t ＋5)，

∴ED ＝－t 2＋7t －10，FD ＝－2t ＋10，

当ED FD ＝12时，2(－t 2＋7t －10)＝－2t ＋10，

解得t 1＝3，t 2＝5(与B 点重合，舍去)，

∴D 点的坐标为(3，6)．

9.如图，抛物线y ＝12

(x －3)2－1与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D .

(1)试求点A ，B ，D 的坐标；

(2)连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD 与抛物线的对称轴交于点E ，求OE 的长；

(3)以(2)中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标．

第9题图

解：(1)由y ＝0得12(x －3)2－1＝0，解得x 1＝3－2，x 2＝3＋2， 又∵点A 在点B 的左侧，

∴A 点坐标为(3－2，0)，B 点坐标为(3＋2，0)，

由抛物线解析式y ＝12

(x －3)2－1可得顶点D 的坐标为(3，－1)； （2）如解图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，设CD 与x 轴交于点F ，对称轴与x 轴的交点为M ，

第9题解图①

由题意可得，∠DCG ＋∠COF ＝90°，∠EOM ＋∠COF ＝90°， ∴∠DCG ＝∠EOM ，

又∵∠CGD ＝∠OME ＝90°，

∴△CDG ∽△OEM ,

∴CG OM ＝DG EM ， 抛物线y ＝12(x －3)2－1与y 轴交于点C ，

∴C （0，72

）， ∴CG =9

2，

即32＝3EM ，

∴EM ＝2,

∴E 点坐标为(3，2)，

∴OE ＝32＋22＝13；

(3)如解图②，由⊙E 的半径为1，由勾股定理得PQ 2＝EP 2－1， 要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小，

第9题解图②

设P 点坐标为(x ，y )，则PQ ＝x －3，EQ ＝2－y ,

∴由勾股定理得EP 2＝(x －3)2＋(2－y )2,

∵y ＝12

(x －3)2－1，

∴(x －3)2＝2y ＋2,

∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5，

当y ＝1时，EP 2为最小值，

将y ＝1代入y ＝12

(x －3)2－1，得x 1＝5，x 2＝1， ∴P 点坐标为(1，1)或(5，1)．

∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，

∴x 2＝1舍去，

∴P (5，1)．

10.如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK ＋KN 最小，并求出点K 的坐标；

(3)已知D 是OA 的中点，点P 在第一象限的抛物线上，过点P 作x 轴的平行线，交直线AC 于点F ，连接OF ，DF .当OF ＝DF 时，求点P 的坐标．

第10题图

解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)， ∴16804a a c c -+=⎧⎨=⎩，解得124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，

∴抛物线的解析式为y ＝－12

x 2＋x ＋4； (2)y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92

， ∴N (1，92)，

如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，则C′(0，－4)，连接C′N 交x 轴于点K ，则K

点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．

第10题解图①

设直线C′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，

92)代入，得 492b k b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，

∴直线C′N 的解析式为y ＝172x －4，

令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，

∴点K 的坐标为(817，0)；

(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，∵D 是OA 的中点，

第10题解图②

∴D (2，0)，

∵OF ＝DF ，

∴OM ＝MD ，

∴M (1，0)，

∴点F 的横坐标是1.

设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，

将点A (4，0)，C (0，4)代入，

∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4，

∴点F 的坐标为(1，3)，

设P (t ，－12

t 2＋t ＋4)，则 －12

t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．