人教版六年级数学上册第四单元比(知识梳理+课本例题+练习)

知识梳理

1、比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的后项不能为0。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

例如 15 ：10 = 15÷10==1.5

比的意义

两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系。

两个有联系的非同类量的比表示一个新的量。例： 路程：速度表示时间。

区分比和比值    

比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。  

比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。  

比和除法、分数的联系：

1、比同除法相比较：

比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比号相当于除法中的除号，比值相当于除法的商。

2、比同分数相比较：

比的前项相当于分数中的分子，比的后项相当于分数中的分母，比号相当于分数中的分数线，比值相当于分数的分数值。

3、用字母表示：

    ÷

比和除法、分数的区别

1、意义不同：

除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个量（或数）的倍数关系。

2、表示方法不同： 

作为一种运算，除法算式不能用分数表示，比可以用分数表示，但分数不一定表示两个量的比。

除法一般要求出商，比只有求比值时才通过计算求出商，而分数本身就是一个数值，无需计算。 

比和比值的关系

联系：比和比值都可以用分数形式表示。

区别：（1）比表示两个数的倍数关系，比值是一个数。

         （2）比只能写成的形式，比值可以是分数，也可以是小数。

注意：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

二、比的基本性质     

根据比、除法、分数的关系：    

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。    

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。   

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。  

比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。根据比的基本性质，把两个数的比化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。 

化简比（注意：最后结果要写成比的形式）

（1）整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

例如：   180:120=（180÷60） ：（120÷60）=3:2    

（2）分数比的化简方法：比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。

     例如：   =（×18） ：（×18）=3:4 

（3）小数比的化简方法：把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。

例如：    0.75:0.2=（0.75×100）：（0.2×100）=75:20=15:4

（4）一个比中，既有小数，又有分数，可以把小数化为分数，按照化简分数比的方法进行化简，也可以把分数化成小数，按照化简小数比的方法进行化简。

例如：    0.5： =： =（×10）：（×10）=5:6

例如：    0.5： =0.5:0.4=（0.5×10）：（0.4×10）=5:4

3、求比值和化简比的比较

1、意义不同。

求比值就是求比的前项除以比的后项所得的商；而化简比就是把两个数的比化成最简单的整数比，也就是化简后的比要符合两个条件，一是比的前项，后项都应是整数，二是前项、后项的两个数要互质。

2、结果不同。

求比值的结果是一个数，这个数可以是整数，也可以是小数或分数。而化简比最后的结果仍然是一个比，要写成比的形式，不能得整数或小数。比有两种书写形式如6比4，可写作6:4，也写作，读作六比四。

3、读法不同。

如6：4求比值是6：4=6÷4=读作二分之三还可写作1.5（结果是一个数）。化简比是6：4=6÷4=读作三比二还可写作3:2（结果是一个比）

4、运算方法不同。

    求比值，是用比的前项除以比的后项。化简比是根据比的基本性质运算。

4、比的应用

1、在工农业生产中和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

2、按比例分配的解题方法：

（1）先求出总的份数，再求出各部分数量占总数的几分之几。

（2）用总数乘各部分的分率求出各部分的数量。

课本例题

知识点一：比的意义

1、长方形的长和宽分别是15米和10米，怎样用算式表示长和宽的倍数关系？

2、“神舟”五号进入运行轨道后，平均90分钟绕地球一圈，大约运行42252千米，怎样用算式表示飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米？

知识点二：比的符号、读写法、各部分名称

1、比的符号

2、比的写法

3、比的读法

4、比的各部分名称

知识点三：求比值的方法

方法解析：求比值，就是用比的前项除以比的后项求出商。

10:5=

：4=

0.3:0.5=

知识点四：比与分数、除法的关系

1、比与分数、除法之间的联系

2、比与分数、除法之间的区别

知识点五：求比中未知项的方法

方法解析：比的前项=比的后项×比值

比的后项=比的前项÷比值

（    ）：8=2            15：（    ）=

知识点六：比的基本性质

1、根据比和除法的关系研究比中的规律

2、根据比和分数的关系研究比中的规律

知识点七：化简比的意义

1、最简单的整数比

2、化简比的意义

3、求比值和化简比的区别

知识点八：整数比的化简方法

15:10=

180:120=

知识点九：分数比的化简方法

知识点十：小数比的化简方法

0.75:2=

0.8:0.5:1.4=

知识点十一：按比例分配问题的解题方法

按1：4的比配制了一瓶500ml的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？

知识点十二：已知一个数量中各部分量的比和其中某一部分量，求另外几个部分量。

学校新进一批图书，按3:4:5分配给四、五、六年级。五年级分的120本，四年级和六年级各分的多少本？

知识点十三：已知两个量的比和他们的差，求总量。

小华和爷爷的年龄比是1:6，已知小华比爷爷小50岁，小华和爷爷的年龄和是多少？

方法解析：两个量的差÷两个量对应的份数差=每份数，每份数×总份数=总数量

练习

练习一：求比值

                0.8：1.6=            60m：70m=

1.5t:120kg=           =               

答案：        0.5        

              135       

练习二：小明读一本书，已读的页数和未读的页数之比是5:4.如果再读27页，已读的页数和未读的页数之比是2:1.求这本书有多少页？

解答：（页）

练习三：化简下面各比

8:12=               5.2:1.3=                   

答案：

化简比：2:3         4:1                75:8             21:20

练习四：甲数是乙数的，乙数是丙数的，求这三个数的连比。

方法一：转化单位“1”的方法

甲数：乙数：丙数

方法二：找中间量的方法

甲数：乙数

乙数：丙数

甲数：乙数：丙数

方法三：设乙数的方法

设乙数为10，则甲数，丙数

甲数：乙数：丙数

练习五：聪聪和笑笑共收集邮票171枚。已知聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等。求聪聪和笑笑分别收集邮票多少枚。

方法指导：根据“聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等”可以画出示意图。                           

由示意图可知，两人收集邮票份数的比是4:5，用按比例分配问题的解法进行解答即可。

（枚）

（枚）

练习六：一条路全长120km，分成上坡、平路、下坡三段，三段路程之比是1:2:3，小明走三段路程所用时间之比是4:5:6，已知他上坡的速度是每小时5km，小明走完全程用了多长时间？

上坡的路程：（km）

上坡的时间：（小时）

上坡用的时间占全程所用的时间： 

走完全程所用的时间：（小时）

练习七：水是由氢和氧按1:8的质量比化合而成，6.3kg水中，含氢和氧各多少kg？

氢：（kg）

氧：（kg）

练习八：一个长方形的周长是m。已知它的长和宽之比是10:9，这个长方形的面积是多少？

（m）

长：（m）

宽：（m）

（m2）

课后练习：

一、填空

1、÷（  ）=12÷（  ）=（   ）：21

2、一个三角形三个角的度数比是1:2:3，这个三角形是（   ）三角形。

3、×=×（a,b均不等于0），a:b=(    ):(     )

4、3:8的前项增加6，要使比值不变，比的后项应增加（    ）

5、甲、乙两数之比是7:2，甲是乙的，乙是甲、乙之和的

6、妈妈买了3.6kg苹果和1.8kg橘子，苹果和橘子的质量比是（    ），比值是（    ）

7、甲数的和乙数的相等，甲：乙=（    ）：（    ）

答案：

1、   3  7  28  9

2、   直角

3、   5  3

4、   16

5、     

6、   2:1   2

7、   2  3

二、化简比，并求比值

160:80         0.5:0.8               0.125: 

答案：

化简比：  2：1       5:8     4:5      5:

比值：    2                       

三、解决问题

1、利民食品厂有男职工和女职工的人数比是5:3，已知该食品厂共有职工184人。这个食品厂的男职工比女职工多多少人？

方法一：（人）

方法二：（人）

2、把一根60m长的铁丝制成一个长方形框架，长、宽、高的比是2:2:1，这个长方形的体积是多少立方米？

（m）

（m）

高：（m）

长和宽：（m）

长方形的体积：（m3）

3、A、B两地相距800km，甲、乙两车同时从两地相向开出，5小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5:3。甲、乙两车平均每小时各行驶多少千米？

（km）

（km）

甲车：（km）

乙车：（km）