等比数列教学案例

   刘士成                         

等比数列求和公式的推导,是数列教学的难点,推导的方法学生不易理解,但是其求和的方法,思路在后面一般数列求和里面有着非常重要的作用.本案例试着利用问题教学的模式让学生自己去寻找.

1、案例

师：西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注，其中一个重要的举措即是退耕还林。王师傅是当地一名热心群众，退休后，他决心用一个月的时间做下面的事：第一天，他自已种一棵树；第二天，他发动两个人和他一起每人做一棵树；第三天，这三个人每人再发动两个人加入他们的行列，每人种一棵树。如此继续，持续了一个月（30天计）。请问他们能让多少耕地还林？对此我们需要考虑哪些问题？

生：就是森林覆盖的面积问题.所以要求出30天种树的总量，以及相邻两树之间的距离。

师：这是一个实际问题，为了简便起见，我们假设任何相邻两树间的距离都是0.5米。因此剩下的问题即是求树的总数，大家可以尝试着做一下。

（学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）

师：有同学求出来了吗？

生：我发现他们第一天种1棵，第二天种3棵，第三天种9棵，第四天种27棵，依次类推，他们每天种的树构成一个以1为首项，3为公比的等比数列。所以（1）。但我算不出来。

师:当数列项数比较多时,那么一项一项累加就比较繁琐;为了又快又巧地解决这个问题.我们通常有两种思路: 一种就是在项数仍然较多的情况下，使得每一项都相同，即将之特殊化，如前面提到的高斯求和的方法。

生:老师,这个方法我们试过了, 

但是下面就没有办法了.因为括号里的不是全部相等.

师：对的非常好.,所以我们应该去考虑另一种方法,那就是想办法抵消一些项，使之转化为只有几项相加减的情况。对于等比数列求和，我们采用后一种思路。即求和关键是要消去中间过多的项。另外，这里的S可以看作是天数的函数，比如S30表示30天时的函数值，S29就表示29天时的函数值。那如何消掉中间项呢?看一下前后之间的项的关系?

（教师在巡视中可以发现，教师的提示起到了重要的作用，学生求解过程中有如下方案：

组1：先把S30算式中间的项写出来，即，并提取公因子3后写成：，发现括号里即为S28，所以便有：。做到这一步，学生发现要求S30，却出现了S28，于是有用S30替换S28的，也有用S28替换S30的，最终求得。

组2：把（1）式作如下处理：。然后用类似组1的方法求出S30。

组3：（1）×3：（2）；

（1）—（2）得，求得。这即是教材的求法。）

 （教师让每组学生派代表对各自的求解思路作汇报后，作出总结。）

师：从三组学生对这个问题的求解过程来看，前n项求和的本质都是为了消去中间过多的项，大家也可以从等差数列求和中得到类似的体会。但你们刚才的求和方法是否适合所有等比数列前n项求和的问题呢？比如是以为首项，q为公比的一个等比数列，每小组用你们自己的方法试一下。

（组1：

 又

   得到

组2：

 即

组3：

组4:受方组3的启发,从第二项开始提取一个,

再应用公式

（各小组均未注意到的情形，所以教师要作重点强调，并总结出等比数列求和公式。）

2、案例简析

新教材对于此节安排就是一个实际的例子引出,再通过这个实际例子求和的方法推导迁移出一般等比数列的求和公式。如果教学中,对于公式只是简单的推导,再让学生记住公式,并利用公式计算,确实不难,只要将推导的方法直接告诉学生,再让学生利用大量练习进行巩固。这样也能达到一定的教学效果。可是只是这样让学生机械的,被动的去接受结果,忽略让学生自己去发现结果,和探索问题的思维过程,就失去了训练思维的绝好的机会。本案例由现实情境引入课题，在教师引导和提示下，学生提出问题并解决问题,把火热的思维过程展现在课堂上,让他们自己去体验艰辛探索后的成功的愉悦。这对于他们以后学习数学,学好数学非常有益.

以往教学只是介绍推导方法,这样的思考问题的思路显得狭隘,了学生从多层次,多角度去思考的权利。本案例的处理就是再现一种的推导过程,而在这种推导过程让学生从多个层面去思考,用多种方法去解决问题,通过观察、分析、归纳、猜想,培养学生的数学思维能力,同时调动学生学习数学的积极性。在该案例设计中，笔者是基于以下两点考虑的：

2．1在课上促进学生应用意识的养成

新的课程标准已对学生数学应用意识作了清楚的刻画，正如[1]文中指出的：“学生的应用意识主要体现在以下2个方面。（1）面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略……（2）认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。”[1]但目前数学教育中存在着一个较大的问题即学生应用能力、应用意识的培养与课堂教学的脱钩，认为课堂是学生学习基础知识、基本技能的主战场，因此一提起数学应用，以及作为数学应用的一个重要载体的研究性学习便想到了让学生走出校园，进入社区，着手调查。笔者以为，让学生在现实生活中体验数学对学生应用意识的养成确有巨大的影响，但不是全部。吕传汉、汪秉彝曾这样写道：“学生学习有别于人类的一般学习，它主要是掌握间接经验的过程……不必事事从直接经验开始，而应是在教师指导下对现成知识‘再发现’。”[2]如何不出校门培养学生的应用意识？一个有效的手段即是教师创设一个有利于儿童学习活动的问题情境，让“学校数学”与“日常数学”走向融合，使学生不出校门而在问题解决中学习数学知识，逐渐树立起“学数学即是做数学”的观念。而在此过程中一个重要的思想即是模型的思想，或更为具体地说也就是数学建模，这也是笔者在案例设计时思考的又一问题。

2．2数学模型思想在课堂教学中的渗透

在此强调这一点，笔者以为有着特殊重要的意义。从数学本身的发展来看，数学往往起源于具体事物、具体经验，形成非结构性知识，但数学的发展并不终止于非结构性知识，而往往需要作进一步的抽象，最终形成具有良好结构的数学知识。这种结构的形成在一定程度上是由于数学模型的一般化，模型之间的协调。正是基于此，笔者认为，数学模型化思想（包括数学建模和数学解模的思想）的学习较数学知识本身的学习有更重要的意义和更大的发展潜力。让学生用数学模型思想看问题，用建模的方法解决问题，用解模应用于生活，即是促进了学生“经由数学地思维”的能力。《〈高中数学课程标准〉的框架设想》也明确指出要把数学建模贯穿于各学习模块之中，并单独设立了“数学建模”的专题课程。但笔者以为，目前在中学开设“数学建模”专题课程时机尚不成熟，这首先是因为中学数学课程内容多，学时少；其次是因为学生现有能力结构不适合开设数学建模课程。因而，与专门开设数学建模课相比，教师在日常课堂教学中渗透模型思想，以建模为平台开展日常教学就显得更为迫切。结合正常课堂教学，通过对教材呈现的知识的理性重建，在部分环节上“切入”建模的内容，尽管有时会偏离该堂课的教学目标，但对于学生能力的培养，未来的发展都有着很大的作用。