2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题 Word版

姓名______________考生号________________ 座位号________________ 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知均为的子集，且，则（）

ðM N

R M N

M , N R ð

R

A．B．C．D．

M N R

2．在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

1 1 1 A．B．C．D．

6 3 2 2 3

3．关于的方程，有下列四个命题：

x x 2 ax b 0

甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；

x 1 x 3

丙：该方程两根之和为 2；丁：该方程两根异号．

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

2 2

x y

4．椭圆 2 2 1(m 0)的焦点为, ，上顶点为，若，则（）

F F A F AF m

m 1 m

1 2 1 2 3A．1B． 2 C． 3 D．2

5．已知单位向量, 满足，若向量7 2 ，则（）

a b a b 0 c a b sin a ,c

7 2 7 A．B．C．D．

3 3 9

2

9

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6．的展开式中的系数是（）

(1x ) (1x ) (1x)

x

2 3 9 2

A．60B．80C．84D．120

7．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直y 2 2px A(2, 2), B, C AB, AC (x 2)2 y 2 1

线的方程为（）

BC

x 2y 1 0 3x 6y 4 0 2x 6y 3 0 x

3y 2 0

A．B．C．D．

8．已知5且且且，则（）

a a e 5 5e a ,

b 4 be 4 4e b ,

c 3 c e 3 3e c

A．B．C．D．

c b a b c a a c b a b c

二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．

f (x ) x ln(1x)

9．已知函数，则（）

f (x) (0,)

A．在单调递增

f (x)

B．有两个零点

y f x 1 , 1

( ) f y f x 1 , 1

C．曲线在点

处切线的斜率为

2 2

1ln 2

f (x)

D．是偶函数

10．设为复数，．下列命题中正确的是（）z z z

1, 2 , 3 z

1 0A．若，则B．若，则z z z z z z z z

2 3 2 3 1 2 1 3 z z 2 3

C．若，则D．若，则z z z z z z z z z

z z z z z z z z z

2

2 3 1 2 1 3 1 2 1 z z 1 2

11．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A．B．C．D．

AE / /CD CH / /BE DG BH BG DE

cos 2x

f (x )

12．设函数，则（）

2 sin x cos x

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f (x ) f (x ) f (x) A．B．的最大值为1 2

f (x) ,0 f (x) 0,

C．在单调递增 D．在单调递减

4 4

三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．

13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为__________________．

14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，_____．

f (x )

15．写出一个最小正周期为 2 的奇函数________．

16．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差n

2

n ~ N 0,

n ，为使误差在的概率不小于 0.9545，至少要测量_____次（若，

(0.5, 0.5)

X ~ N ,

X ~ N ,

2 n

P(| X | 2 )

0.9545)

则）．

四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）

a a 2 2a 1 3a

已知各项都为正数的数列满足．

n n n n

a a

（1）证明：数列为等比数列；

n n 1

1 3

a a

（2）若, ，求 a 的通项公式．

1 2 n

2 2

18．（12 分）在四边形中，．

ABCD AB / /CD, AD BD CD 1

3

AB BC

（1）若，求；

2

（2）若 2 ，求．

AB BC cos BDC

19．（12 分）

一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3 需要调整的概率分别为 0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互．

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（1）求设备在一天的运转中，部件 1,2 中至少有 1 个需要调整的概率；

（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．

X X

20．（12 分）

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内

2

角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率

3

2 3

4

为，故其总曲率为．

3

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，

2

证明：这类多面体的总曲率是常数．

21．（12 分）

x y

2 2

双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，

C : 1(a 0,b 0)

A F

B

C BF AF

a b

2 2

| AF || BF |

．

（1）求C 的离心率；

（2）若在第一象限，证明：．

B BFA 2BAF

22．（12 分）已知函数．

f (x) e x sin x cos x, g(x) e x sin x cos x

5

x f (x) 0

（1）证明：当时，；

4

g(x)… 2 ax a

（2）若，求．

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