数列通项公式及数列求和的常用方

邓 飞

一．通项公式求法

1. 迭乘法： 型

例1  已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

2. 迭加法： 型

例2  在数列{}中，,，求通项公式.

解：原递推式可化为： ,   则  ，，……，逐项相加得：.故.

3. 待定系数法： 型――转化为型。（等比型）

例3　已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设    比较系数得所以    

又，则数列是以9为首项，2为公比的等比数列，

则，故。

4. 待定系数法： 型――转化为型。（等比型）

例4  已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设    比较系数得所以    

又，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

则，故。

5. 待定系数法： 型――转化为型。（等差型）

例5  已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

6. 待定系数法： 型―――转化为型。（等比型）

例6  在数列{}中，， 求数列{}通项公式.

解：设，比较系数得。任取。则得。又=2-2（-1）=4，

则是以4为首项， 3为公比的等比数列.

∴.（即为第4型）。易求得：.

7.取倒数法

例7  已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。

解  将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.

8.取对数法

例8  若数列{}中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是．

解  由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.

二．数列求和常用方法

常用求和公式　　①

②　

③　　④　⑤

1.分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并.

例1：求下面数列的前n项和： 

解： 

设当a=1时，Tn=n;　当a≠1时，Tn= 

设Cn=1+4+7+…+(3n-2)= 

所以, 

2.错位相减法

这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前n项和,其中,分别是等差数列和等比数列. 等比数列的前n项和公式是采用错位相减法推导的．

  例2.　求值： 

解：分a=1和a≠1两种情况.  当a=1时， 

  当a≠1时，①  将上式两边同乘以，得②

  ①-②得　即

综上可得： 

3.倒序相加法

将一个数列倒过来排列(倒序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.等差数列的求和公式就是用倒序相加法推导出来的.

例3　求和

解：①

②

①+②得： 

所以： 

4.裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. “裂项法”一般适用于分式型求和，和式中的项的结构特点一般是： (其中{an}是公差为d(d≠0)的等差数列)，利用变形后,一些项相抵消，注意前后各有哪些项保留.

常见的拆项公式有：①　②；　

③；　④　

⑤;   ⑥;   ⑦; 

⑧.

例4 在数列中, ,又,求数列前n项和.

解:因为, 所以

所以