线段、角和差倍常见题型以及几何知识迁移运用

 知识要点：

1. 直线

1）直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。

2）特征：一是“直”的；二是向两方无限延伸的；三是没有粗细。

3）表示方法：①如图1；②如图2。

4）点和直线的位置关系：一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点。如图所示，可以说：点O在直线l上或直线l经过点O；点P在直线l外或直线l不经过点P。

5）两条直线相交的意义：当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。如图所示，可以说：直线a、b相交于点O。此时直线a、b只有一个公共点。两条直线相交有没有可能出现两个、三个或更多的交点呢？

2. 射线

1）射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。

2）射线的表示方法：用射线的端点和射线上任一点来表示，如图1中的射线记做射线OA或射线l。注意：①表示端点的字母一定要写在前面，使字母的顺序与射线延伸的方向一致，如图1射线OA不能表示成射线AO；②同一条射线是指射线的端点相同，而延伸方向也相同的射线。如图2，射线OA与射线OB表示同一条射线；③两条不同射线是指端点不同的射线，或者是指端点相同但延伸方向不同的射线，如图2中，射线OB与射线AB不是同一射线。

3. 线段

（1）线段的概念：直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

（2）两点间的距离：连结两点的线段的长度叫做这两点的距离。

（3）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间线段最短。

（4）线段的表示方法：如图1，用两个大写字母表示，记做线段AB或线段BA；如图2，用一个小写字母表示，记做线段a。

注意：①线段AB和线段BA是同一条线段；②连结AB就是画以A、B为端点的线段；③延长线段AB是指按从A到B的方向延长，如图所示，也可以说成反向延长BA。线段的延长线常常画成虚线。

（5）线段大小的比较：①度量法。先量出线段AB、线段CD的长度，根据它们的长度（数量）进行比较，线段的大小关系与它们的长度关系是一致的。②叠合法。如图所示。

（6）线段的中点及等分点的概念：如图1所示，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点。有AB＝BC＝AC。如图2所示，点B和点C把线段AD分成三条相等的线段，点B、点C叫做线段AD的三等分点，有AB＝BC＝CD＝AD。类似的还有线段的四等分点、五等分点等。

4. 直线、射线、线段的区别

　　有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角通常有三种表示方法：一是用三个大写字母表示，二是用角的顶点的一个大写字母表示，三是用一个小写字母或数字表示。

　　注意：当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示。

知识点：度、分、秒

　　1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

　　要点诠释：

　　（1）度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同。

（2）角的度数的换算有两种方法：方法一：由度化为度分秒的形式(即从高位向低位化)，1°=60′，

1′=60″；方法二：由度分秒的形式化成度(即从低位向高位化)， ′, °

知识点：角平分线

　　从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，类似地，还有角的三等分线等。

知识点：余角、补角概念

　　如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即：若∠

1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角； 如果两个角和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。 

要点诠释：（1）余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角)。（2）一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的，

知识点：余角、补角的性质

　　同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。

　　注意： “等角是相等的两个角”，而“同角是同一个角”．

知识点：方位角

　　以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角

　　要点诠释：

（1）方位角常以正南或正北为第一方向，正东或正西为第二方向，两个方向的夹角为方位角的度数，这样就能准确地确定方向。

（2）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的。所以在应用中一要确定其始边

是正北还是正南。二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小。

典型易错填空、判断题

线段和差倍常见解答题

1.如图点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点。

（1）求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

2.如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使，求的长。

3.如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长．

4.（1）如图，点M、N是线段AB上的两个点，则不同的线段有：                                              。

2.） 如图，点C把线段AB分成两条线段，分别是                     。

3.）如图，M把线段AB分成两条线段，且线段AM=MB，则点M是线段AB的     ，

AB=     AM,BM=      AB.

4.）如图，P是线段MN的中点，且线段MN=4cm，则线段MP=PN=     cm。

5.）如图，点C是线段AB上一点，线段AC=2cm，CB=3cm，则线段AB=      cm。

6.）如图，已经线段MN=10cm，线段PN=3cm，则线段MP=        。

5.如图一，已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，且线段BC=2cm，则线段AC=      ；如图二，点C在线段AB的延长线，且线段BC=2cm，则线段AC=     cm。

6. 如图，在线段AB上有两点M、N，且线段AM=2cm，MN=4cm，NB=3cm，则线段AB=     。

7.如图，已经线段AB=12cm，AM=4cm，MN=2cm，则线段AB=      cm。

8.如图，已经线段AB=12cm,AM=3cm，NB=5cm，则线段MN=        。

9..如图，已知线段AB=14cm，点M为中点，线段MN=3cm，则线段NB=        。

10..如图，M是线段AB的中点，线段AM=10cm，NB=2cm，则线段MN=      cm。

11.如图，M为线段AB的中点，且线段AN=8cm，NB=2cm，则线段AB=     ,MN=      。

12.如图，M为线段AN的中点，线段MN=2cm，NB=3cm，则AB=      cm。

13.线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF。

14.如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点。

（1）求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

二、解答题（写清解题过程，用“因为”，“所以”，用一个条件，写一个结论）

1.如图，P为线段MN上一点，且线段MP=5cm,PN=3cm。求线段MN的长。

解：因为MP=5,PN=3

所以MN=        +           

        =        +           

        =      

2.如图，C为线段AB上一点，且线段AC=2cm,BC=5cm。求线段AB的长。

3..如图，P为线段MN的中点，且线段MN=10cm。求线段NP的长。

解：因为P为线段MN的中点

所以NP=      

       =         

     =         

5.在一张零件图中，已知AD=76cm，BD=70cm，CD=19mm，求AB和BC的长

6如图，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=8，DB=6，求CD的长。

解：因为DA=8,DB=6

所以AB=        +        

       =        +        

           =        

因为C为线段AB的中点

所以AC=      

       =         

     =         

所以CD=        —       

       =        —       

       =          

三、角的和差倍常见大题

1.一个角的补角与20°角的和的一半等于这个角的余角的3倍，求这个角．

2.如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，求∠AOD和∠AOC的度数．

.3考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．

（1）按1︰100 000画出考察队行进路线图．

（2）量出∠PAC、∠ACP的度数（精确到1°）．

（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．

1

三、作图

1. 已知线段a、b（如图），作出线段AB，使AB＝2a－b

2．读句画图：如图，A、B、C、D在同一平面内． 

（1）过点A和点D作直线；                   （2）画射线CD；

（3）连结AB；（4）连结BC，并反向延长BC．

3.读下列语句，并分别在以下指定的位置上画出图形。

(1)在线段MN的反向延长线上取一点P，使线段PM=MN; 

(2)直线b与射线OA相交于点P;

(3)线段m和直线CD相交于点P；

(4)直线a经过点A、B，点P在直线a外。

情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题。

情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？

读题、画图、计算并作答：

画线段AB = 3cm，在线段AB上取一点K，使AK = BK，在线段AB的延长线上取一点C，使AC = 3BC，在线段BA的延长线上取一点D，使AD =AB。

（1）求线段BC、DC的长；（2）点K是哪些线段的中点？

.

如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线是请画出简图，并说明理由。

.观察图①，由点A和点B可确定   条直线；

观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定   条直线；

（1）动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作     条直线；

（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定     条

直线、n个点（n≥2）最多能确定    条直线。

探索规律：

（1）当有两个确定的点时，可以画出一条线段；

（2）当有三个确定的点时，可以画出_______条线段；

（3）当有四个确定的点时，可以画出_______条线段；

（4）如此计算，当n个确定的点时，可以画出_______条线段

如图,平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图

  (1)画直线AB、CD交于E点;

  (2)画线段AC、BD交于点F;

  (3)连接E、F交BC于点G;

  (4)连接AD,并将其反向延长;

  (5)作射线BC;

(6)取一点P,使P在直线AB上又在直线CD上.