(易错题精选)初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编及答案解析

1．方程

31

1

44

x

x x

-

-=

--

的解是（）

A．－3 B．3 C．4 D．－4

【答案】B

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

去分母得：3-x-x+4=1，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

故选：B．

【点睛】

此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

2．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，

由题意得：，

故选B.

【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．

3．方程

24

2

22

x

x

x x

=-+

--

的解为（）

A．2 B．2或4 C．4 D．无解【答案】C

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，

分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0，

解得：x=2或x=4，

经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，

故选C ．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）

A ．4 1.2540800x x ⨯-=

B ．

800800402.25x x -= C ．

800800401.25x x

-= D ．800800401.25x x -= 【答案】C

【解析】

【分析】 先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即

可．

【详解】 小进跑800米用的时间为

8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x

秒， ∵小进比小俊少用了40秒， 方程是

800800401.25x x

-=， 故选C ．

【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

5．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x

--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52212

6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0 C ．5 D ．6

【分析】

先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．

【详解】

解：化简不等式组为

25

632

y m

y y

-≤

⎧

⎨

+>+

⎩

，

解得：﹣2＜y≤

5

2

m+

，

∵不等式组至多有六个整数解，

∴

5

2

m+

≤4，

∴m≤3，

将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），

解得：x=

5

2

m+

，

∵分式方程的解为正整数，

∴m+5是2的倍数，

∵m≤3，

∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，

∴

5

2

m+

≠2，

∴m≠﹣1，

∴m=﹣3或m=1或m=3，

∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，

故选：A．

【点睛】

本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．

6．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21

a

b a

-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）

A．1 B．1

3

C．﹣1 D．-

1

3

【答案】A 【解析】

【详解】

解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=

21121x x x

-=-， 解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解，

故选A ．

【点睛】

本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

7．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）

A ．1101002x x

=+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x =- D ．1101002

x x =- 【答案】A

【解析】 设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．

解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：

1102x +=100x

， 故选A ．

8．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ）

A ．

18018032x x -=+ B ．18018032x x -=+ C ．18018032

x x -=- D ．18018032x x -=- 【答案】D

【解析】

【分析】

先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊

了3元钱车费列出方程即可.

解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：

18018032x x

-=-. 故选：D.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.

9．解分式方程

11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"

B ．x="3"

C ．x="4"

D ．无解

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

故选D ．

考点：解分式方程．

10．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程

233x a a x x

-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4

D ．5 【答案】B

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答

案．

【详解】

解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，

所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠， 因为：

233x a a x x

-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，

所以：(1)22a x a -=+，

当1a =时，方程无解，

当1a ≠时，方程的解为224211

a x a a +=

=+--， 因为x 为整数且3x ≠，

所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=±

所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠， 所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉，

所以a 的值为：1,2,3,-．

故选B ．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．

11．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab

⊗=

-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2 【答案】B

【解析】

【分析】

利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．

【详解】 根据题中的新定义化简得：339342x x

=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．

故选B ．

【点睛】

本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

12．若关于x 的方程333x m m x x

++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92

B ．m ＜92且m≠32

C ．m ＞﹣94

D ．m ＞﹣94且m≠﹣34 【答案】B

【解析】

【详解】

解：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9，

整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=

292m -+， 已知关于x 的方程333x m m x x

++--=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m ＜

92， 当x=3时，x=292m -+=3，解得：m=32

， 所以m 的取值范围是：m ＜

92

且m≠32． 故答案选B ．

13．若分式方程2+

1kx x 2--＝12x -有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2

B ．﹣1

C ．1

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可.

【详解】

解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1，

由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1，

解得：k ＝1．

故选：C ．

【点睛】

此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.

14．若整数a 使关于x 的分式方程111

a x a x x ++=-+的解为负数，且使关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩

无解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）

A ．5

B ．7

C ．9

D ．10

【解析】

【分析】

解分式方程和不等式得出关于x 的值及x 的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a 的范围，继而可得整数a 的所有取值，然后相加．

【详解】

解：解关于x 的分式方程111a x a x x ++=-+，得x ＝−2a+1， ∵x ≠±1，

∴a ≠0，a≠1，

∵关于x 的分式方程

111

a x a x x ++=-+的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴12

a >

， 解不等式1()02

x a -->，得：x ＜a ， 解不等式2113x x +-≥，得：x≥4， ∵关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩

无解， ∴a ≤4，

∴则所有满足条件的整数a 的值是：2、3、4，和为9，

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a 的范围是解题的关键．

15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.

16．已知关于x 的分式方程

21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3

B ．m≤3且m≠2

C ．m ＜3

D ．m ＜3且m≠2 【答案】D

【解析】

【分析】

解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围.

【详解】 21

m x -+=1， 解得：x=m ﹣3，

∵关于x 的分式方程

21

m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0，

解得：m ＜3，

当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，

则m≠2，

故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，

故选D ．

【点睛】

本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．

17．若关于x 的分式方程2233

x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3

B ．3

C 3

D ．3±【答案】D

【解析】 解关于x 的方程2233

x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，

∴30x -=，即2630m --=，解得：3m =

故选D.

点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的

18．若关于x的分式方程

3

2

22

x m m

x x

+

+=

--

有增根，则m的值为（）

A．1-B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．

【详解】

解：方程两边都乘x﹣2，

得x+m﹣3m＝2（x﹣2），

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，2+m﹣3m＝0，

∴m＝1，

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定可能的增根；

②化分式方程为整式方程；

③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．

19．若整数a使得关于x的方程

3

2

22

a

x x

-=

--

的解为非负数，且使得关于y的不等式

组

322

1

22

3

y y

y a

--

⎧

+>

⎪⎪

⎨

-

⎪≤

⎪⎩

至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．

A．17 B．18 C．22 D．25

【答案】C

【解析】

【分析】

表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．

【详解】解：

322

1

22

3

y y

y a

--

⎧

+>

⎪⎪

⎨

-

⎪

⎪⎩

„

，

不等式组整理得：

1 y

y a

>-

⎧

⎨

⎩„

，

由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，

2－

3

22

a

x x

=

--

，

去分母得：2（x－2）－3＝－a，

解得：x＝7

2

a -

，

∵7

2

a

-

≥0，且

7

2

a

-

≠2，

∴a≤7，且a≠3，

由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．

故选：C．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()

A．1010

15

2

x x

-=B．

1010

15

2x x

-=C．

10101

24

x x

-=D．

10101

24

x x

-=

【答案】C

【解析】

【分析】

设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15

=分钟”列出方程即可得．

【详解】

设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，

∴所列方程正确的是：10101

24

x x

-=，

故选：C．

【点睛】

此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．