一、选择题（共9小题）.
1．已知sinxcosy＝，则cosxsiny的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣1，1]
2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知A是函数f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（ ）
A． B． C．3π D．4π
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|＜）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最大值为3
B．在（）单调递减
C．（）是它的一个对称中心
D．x＝﹣是它的一条对称轴
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，2]
7．定义运算＝ad﹣bc、若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（ ）
A． B． C． D．
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数y＝sinx2的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．已知2sinθ﹣cosθ＝1，则＝ ．
11．将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则＝ ．
12．已知函数f（x）＝4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）＝ ．
13．若0，﹣＜β＜0，cos（）＝，sin（+）＝，则cos（2α+β）＝ ．
14．定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是 ．
三、解答题
15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x）．
（1）求证：tan（α+β）＝2tanα；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．
16．已知函数f（x）＝cosx（sinx﹣cosx）+．
（1）求的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
参
一、选择题（共9小题，每小题0分，满分0分）
1．已知sinxcosy＝，则cosxsiny的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣1，1]
【分析】由题意可得﹣1≤sin（x+y）≤1，sin（x+y）＝+cosxsiny，由此求得cosxsiny的取值范围．再根据﹣cosxsiny＝sin（x﹣y ），且﹣1≤sin （x﹣y ）≤1，求得cosxsiny的范围，再把这两个范围取交集，即得所求．
解：由于﹣1≤sin（x+y）≤1，sinxcosy＝，
sin（x+y）＝sinxcosy+cosxsiny＝+cosxsiny，
再根据 sinxcosy﹣cosxsiny＝sin（x﹣y ），且﹣1≤sin （x﹣y ）≤1，
结合①②可得﹣≤cosxsiny≤
故选：A．
2．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若，且，则f（x）取最大值时x的值为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由，可知函数关于x＝对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求
解：∵f（x）＝sin（2x+φ），满足，
函数关于x＝对称，
∴φ＝，n∈z，
∵，
∴f（x）取最大值时，2x＝，k∈z，
故选：C．
3．已知A是函数f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1﹣x2|的最小值，从而可得答案．
解：f（x）＝sin（2018x+）+cos（2018x﹣），
＝sin2018x+cos2018x+cos2018x+sin2018x，
＝2sin（2018x+），
又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
|x1﹣x3|的最小值为T＝，又A＝2，
故选：B．
4．若函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+（x∈R）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度得函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和为（ ）
A． B． C．3π D．4π
【分析】运用正弦函数的图象变换可得g（x）＝sinx，再由正弦函数的图象和性质，解方程可得所求和．
解：函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），
f（x）的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，可得y＝sin（x﹣），
函数y＝g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点，
可得x＝﹣3π+arcsin，﹣π﹣arcsin，arcsin，π﹣arcsin，2π+arcsin，4π﹣arcsin，
故选：C．
5．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|＜）的图象的对称轴完全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（ ）
A．最大值为3
B．在（）单调递减
C．（）是它的一个对称中心
D．x＝﹣是它的一条对称轴
【分析】根据两个函数的对称轴相同求出ω和φ的值，结合三角函数的最值性，单调性，对称性分别进行判断即可．
解：∵两个函数的图象的对称轴完全相同，
∴两个函数的周期相同，即ω＝2，
由2x﹣＝kπ+得x＝+，即f（x）的对称轴为x＝+，k∈Z，
得kπ++φ＝mπ，
∵|φ|＜，∴当m﹣k＝1时，φ＝π﹣＝，
当＜x＜时，＜2x+＜，此时f（x）不单调，故B错误，
g（x）的对称轴为x＝+，k∈Z，则当k＝﹣1时，对称轴为x＝﹣+＝﹣，故D正确，
故选：D．
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，2]
【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．
解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，
∴，k∈Z
∵ω＞0，
故选：B．
7．定义运算＝ad﹣bc、若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β＝[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．
解：依题设得：
sinα•cosβ﹣cosα•sinβ＝sin（α﹣β）＝．
又∵cosα＝，∴sinα＝．
＝×﹣×＝，
故选：D．
8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
解：因为函数y＝xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x＝时，，
由此可排除选项A和选项C．
故选：D．
9．函数y＝sinx2的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断选项即可．
解：函数y＝sinx2是偶函数，排除A、C，当x2＝，即x＝时，函数取得最大值6，
因为，x＝时，y＝sin≈sin2.5≈0.04，
故选：D．
二、填空题
10．已知2sinθ﹣cosθ＝1，则＝ 0或2 ．
【分析】由已知结合同角平方关系可求sinθ，cosθ，代入即可求解．
解：由题意可得2sinθ﹣1＝cosθ，
两边同时平方可得，4sin8θ﹣4sinθ+1＝cos2θ＝1﹣sin2θ，
∴sinθ＝0，cosθ＝﹣1，或sinθ＝，cosθ＝，
或sinθ＝，cosθ＝，则＝2．
故答案为：0或2．
11．将函数f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则＝ ．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
解：因为f（x）＝asinx+bcosx（a，b∈R，a≠0）的图象向左平移单位长度，
得到偶函数图象，
所以，
所以．
故答案为：
12．已知函数f（x）＝4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）＝ ﹣2 ．
【分析】首先根据题意易得函数是为奇函数，根据奇函数性质可以求出φ，再结合与x轴任意交点之间距离的最小值为1，则半个周期为1，进而求出ω，从而求出f（x）的解析式，进而求出f（）＝﹣2．
解：∵函数 f（x）＝4cos（ωx+φ） 为奇函数，且 0＜φ＜π，
则f（0）＝4cosφ＝8，
A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，
则 ，∴，
则 ．
故答案为：﹣2．
13．若0，﹣＜β＜0，cos（）＝，sin（+）＝，则cos（2α+β）＝ ．
【分析】利用两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sinβ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．
解：∵cos（）＝（cosα﹣sinα）＝，可得：cosα﹣sinα＝，①
∴两边平方可得，1﹣sin2α＝，解得：sin2α＝，
∴由①②解得：cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝，
∴cos（6α+β）＝cos2αcosβ﹣sin2αsinβ＝×﹣×（﹣）＝．
故答案为：．
14．定义在[0，π]上的函数y＝sin（ωx﹣）（ω＞0）有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是 [] ．
【分析】首先利用函数的定义域求出ωx﹣，进一步利用函数的零点和值域建立，最后求出ω的范围．
解：由于x∈[0，π]时，
所以ωx﹣．
所以，
所以ω的取值范围是[]．
故答案为：[]．
三、解答题
15．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x）．
（1）求证：tan（α+β）＝2tanα；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简条件可得4cos（α+β）sinα＝2sin（α+β）cosα，从而证得要证得等式成立．
（2）由条件根据tanβ＝tan[（α+β）﹣α]，利用两角差的正切公式，求得函数f（x）的解析式．
（3）利用条件可得0＜α＜，tanα∈（0，），即x∈（0，），由此求得函数f（x）＝＝，利用基本不等式以及函数的单调性，求得函数f（x）的值域．
解：（1）证明：∵sin（2α+β）＝3sinβ，∴sin[（α+β）+α]＝3sin[（α+β）﹣α]，
展开可得sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝4sin（α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα，
（2）∵tanα＝x，tanβ＝y，y＝f（x），
即函数f（x）的解析式y＝f（x）＝．
则函数f（x）＝＝≤＝，当且仅当x＝时，取等号．
当x趋于零时，f（x））＝ 趋于2，当x趋于时，f（x））＝ 趋于，
故函数f（x）的值域为（0，]．
16．已知函数f（x）＝cosx（sinx﹣cosx）+．
（1）求的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
（2）直接利用平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的值域和恒成立问题的应用求出结果．
解：（1）＝＝，所以．
（2），
所以，整理得，
所以实数c的取值范围为．
17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）利用函数的图象和关系式的变换的应用求出函数的解析式，进一步求出函数的最小正周期和对称中心．
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用和利用函数的额＝的定义域求出函数的值域．
解：已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（其中A＞0，ω＞0，﹣＜ϕ＜0）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
所以：周期T＝π，
且图象上一个最低点为M，
所以：f（x）＝2sin（2x﹣），
解得：x＝（k∈Z），
（2）函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（4（x+）﹣）＝2cos4x的图象，
故：，
所以：﹣1≤g（x）≤4．
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