福州2011年中考数学试题及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）

1、（2011•南平）2的相反数等于（　　）

    A、﹣2        B、2    C、﹣        D、

2、（2011•南平）方程组的解是（　　）

    A、        B、    C、        D、

3、（2011•南平）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）

    A、了解南平市的空气质量情况        B、了解闽江流域的水污染情况

    C、了解南平市居民的环保意识        D、了解全班同学每周体育锻炼的时间

4、（2011•南平）下列运算中，正确的是（　　）

    A、a3•a5=a15        B、a3÷a5=a2       C、（﹣a2）3=﹣a6        D、（ab3）2=﹣ab6

5、（2011•南平）下列说法错误的是（　　）

    A、必然事件发生的概率为1        B、不确定事件发生的概率为0.5

    C、不可能事件发生的概率为0        D、随机事件发生的概率介于0和1之间

6、（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（　　）

    A、2        B、4      C、        D、2

7、（2011•南平）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，若O1O2=6，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）

    A、内切        B、相交      C、外切        D、外离

8、（2011•南平）有一等腰梯形纸片ABCD（如图），AD∥BC，AD=1，BC=3，沿梯形的高DE剪下，由△DEC与四边形ABED不一定能拼成的图形是（　　）

    A、直角三角形        B、矩形        C、平行四边形        D、正方形

9、（2011•南平）某商店销售一种玩具，每件售价92元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程正确的是（　　）

    A、=15%        B、=15%        C、92﹣x=15%        D、x=92×15%

10、（2011•南平）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为（　　）

    A、78        B、66       C、55        D、50

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11、计算：=　_________　．

12、分解因式：mx2+2mx+m=　_________　．

13、（2011•南平）已知△ABC的周长为18，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长为　_________　．

14、（2011•南平）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面都朝上的概率是　_________　．

15、（2011•南平）已知反比例函数y=的图象经过点（2，5），则k=　_________　．

16、（2011•南平）某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：

（1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩；

（2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；

（3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（跳绳次数≥150次为优秀）．

其中正确的命题是　_________　．（只填序号）

17、（2011•南平）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可得该几何体的体积为　_________　．（结果保留π）

18、（2011•南平）一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于　_________　．

三、解答题（本大题共8小题，共86分．）

19、（2011•南平）先化简，再求值：x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1），其中x=﹣1．

20、（2011•南平）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

21、（2011•南平）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．

（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）

（2）△A′B′C′的面积是：　_________　．

22、（2011•南平）在“5•12防灾减灾日”之际，某校随机抽取部分学生进行“安全逃生知识”测验根据这部分学生的测验成绩（单位：分）绘制成如下统计图（不完整）：

请根据上述图表提供的信息，完成下列问题：

（1）分别补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）若从该校随机1名学生进行这项测验，估计其成绩不低于80分的概率约为　_________　．

23、（2011•南平）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？

24、（2011•南平）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠B=28°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1）

25、（2011•南平）（1）操作发现：

如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

26、（2011•南平）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．

（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；

（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位

①直接写出平移后的新抛物线的解析式；

②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]

【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣，顶点坐标是（﹣，）】．

答案与评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1、（2011•南平）2的相反数等于（　　）

    A、﹣2        B、2    C、﹣        D、

考点：相反数。

专题：常规题型。

分析：根据相反数的定义即可求解．

解答：解：2的相反数等于﹣2．

故选A．

点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．

2、（2011•南平）方程组的解是（　　）

    A、        B、    C、        D、

考点：解二元一次方程组。

专题：计算题。

分析：解：先把第一个方程化成和第二个方程系数相同，再根据解二元一次方程组的方法解答即可．

解答：解：由变形得，

，

①+②得，3x=15解得，

x=5，

把x=5代入①解得，

y=1，

故答案为C．

点评：本题考查了用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．

3、（2011•南平）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）

    A、了解南平市的空气质量情况        B、了解闽江流域的水污染情况

    C、了解南平市居民的环保意识        D、了解全班同学每周体育锻炼的时间

考点：全面调查与抽样调查。

专题：推理填空题。

分析：A、根据全面调查方式的可行性即可判定；

B、根据全面调查的可行性即可判定；

C、根据全面调查的可行性即可判定；

D、根据全面调查的可行性即可判定．

解答：解：A、了解南平市的空气质量情况，由于南平市地域大，时间多，不能全面调查，故选项错误；

B、了解闽江流域的水污染情况，由于工作任务太大，具有破坏性，不能全面调查，故选项错误；

C、了解南平市居民的环保意识，由于南平市居民人口多，任务重，不能全面调查，故选项错误；

D、了解全班同学每周体育锻炼的时间，任务不重，能全面调查，故选项正确．

故选D．

点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

4、（2011•南平）下列运算中，正确的是（　　）

    A、a3•a5=a15        B、a3÷a5=a2       C、（﹣a2）3=﹣a6        D、（ab3）2=﹣ab6

考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

专题：计算题。

分析：A、根据同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加即可计算出结果，作出判断；

B、根据同底数幂的除法法则：底数不变指数相减即可计算出结果，作出判断；

C、根据积的乘方法则给积中每一个因式分别乘方与幂的乘方法则底数不变指数相乘即可计算出结果，作出判断；

D、根据积的乘方法则给积中每一个因式分别乘方与幂的乘方法则底数不变指数相乘即可计算出结果，作出判断．

解答：解：A、a3•a5=a3+5=a8，本选项错误；

B、a3÷a5=a3﹣5=a﹣2=，本选项错误；

C、（﹣a2）3=（﹣1）3•（a2）3=﹣a2×3=﹣a6，本选项正确；

D、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，本选项错误．

故选C．

点评：本题考查同底数幂的乘法、除法法则，以及积的乘方与幂的乘方法则．其中同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

5、（2011•南平）下列说法错误的是（　　）

    A、必然事件发生的概率为1        B、不确定事件发生的概率为0.5

    C、不可能事件发生的概率为0        D、随机事件发生的概率介于0和1之间

考点：概率的意义。

分析：本题需先根据概率的意义和求法分别对每一项进行分析，即可求出答案．

解答：解：A、∵必然事件发生的概率为1，

故本选项正确；

B、∵不确定事件发生的概率介于1和0之间，

故本选项错误；

C、∵不可能事件发生的概率为0，

故本选项正确；

D、∵随机事件发生的概率介于0和1之间，

故本选项正确；

故选B．

点评：本题主要考查了概率的意义，在解题时要能根据概率的意义确定每一类事件发生的概率是本题的关键．

6、（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（　　）

    A、2        B、4    C、        D、2

考点：等边三角形的性质。

分析：根据等边三角形三线合一的性质，即可得D为BC的中点，即可求BD的值，已知AB、BD根据勾股定理即可求AD的值．

解答：解：∵等边三角形三线合一，

∴D为BC的中点，

∴BD=BC=2，

在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，

则AD==2．

故选D．

点评：本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键，难度适中．

7、（2011•南平）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，若O1O2=6，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）

    A、内切        B、相交      C、外切        D、外离

考点：圆与圆的位置关系。

分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系．

解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=6，

又∵2+4=6，

∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切．

故选C．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

8、（2011•南平）有一等腰梯形纸片ABCD（如图），AD∥BC，AD=1，BC=3，沿梯形的高DE剪下，由△DEC与四边形ABED不一定能拼成的图形是（　　）

    A、直角三角形        B、矩形     C、平行四边形        D、正方形

考点：等腰梯形的性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定。

专题：计算题。

分析：根据题意画出符合条件的所有图形，即可得到答案．

解答：解：

如图（1）放置得到直角△BEF，

如图（2）放置得到矩形BEDM，但矩形不一定是正方形，

如图（3）放置得到平行四边形ABEN．

故选D．

点评：本题主要考查对平行四边形的判定，矩形的判定，直角三角形的性质，正方形的判定，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能画出符合条件的所有图形是解此题的关键．

9、（2011•南平）某商店销售一种玩具，每件售价92元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程正确的是（　　）

    A、=15%        B、=15%       C、92﹣x=15%        D、x=92×15%

考点：由实际问题抽象出分式方程。

分析：设这种玩具的成本价为x元，根据每件售价92元，可获利15%，可列方程求解．

解答：解：设这种玩具的成本价为x元，

=15%．

故选A．

点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出未知数，根据利润率=列方程．

10、（2011•南平）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为（　　）

    A、78        B、66        C、55        D、50

考点：规律型：图形的变化类。

专题：规律型。

分析：第一个图形中小正方形的个数为1，第二个为1+2=3，第三个为1+2+3=6，第四个为1+2+3+4=10，故可得出规律求出小正方形的个数．

解答：解：由题意得：第一个图形中小正方形的个数为1，

第二个为1+2=3，

第三个为1+2+3=6，

第四个为1+2+3+4=10，

…；

第（11）个图形中小正方形的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66．

故选B．

点评：本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到小正方形增加的规律．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11、计算：=　8　．

考点：算术平方根。

专题：存在型。

分析：根据算术平方根的概念进行解答即可．

解答：解：∵82=，

∴=8．

故答案为：8．

点评：本题考查的是算术平方根的概念，即一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

12、分解因式：mx2+2mx+m=　m（x+1）2．

考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．

解答：解：mx2+2mx+m

=m（x2+2x+1）

=m（x+1）2．

点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13、（2011•南平）已知△ABC的周长为18，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长为　9　．

考点：三角形中位线定理。

专题：计算题。

分析：利用三角形中位线定理，可知中点三角形的周长等于原三角形周长的一半，则△ADE的周长可求．

解答：解：如图：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE=BC，AD=AB，AE=AC，

∴△ADE的周长=DE+AD+AE=（BC+AB+AC）=×18=9．

故答案为9．

点评：本题是中学阶段较简单的题目，考查了三角形的中位线定理，解题关键是熟记三角形的中位线定理即可．

14、（2011•南平）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面都朝上的概率是．

考点：列表法与树状图法。

专题：数形结合。

分析：列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．

解答：解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．

故答案是．

点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．

15、（2011•南平）已知反比例函数y=的图象经过点（2，5），则k=　10　．

考点：待定系数法求反比例函数解析式。

分析：将点（2，5）代入即可得出k．

解答：解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，5），

∴k=10．

故答案为10．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．

16、（2011•南平）某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：

（1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩；

（2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；

（3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（跳绳次数≥150次为优秀）．

其中正确的命题是　②③　．（只填序号）

考点：方差；算术平均数；中位数。

专题：图表型；分类讨论。

分析：根据平均数、中位数、方差的意义分析三个说法．对于③，乙班的中位数为151，说明乙班至少有一半的为优秀．

解答：解：两个班的平均成绩均为135次，故①错误；

方差表示数据的波动大小，甲班的方差大于乙的，说明甲班的成绩波动大，故②正确；

中位数是数据按从小到大排列后，中间的数或中间两数的平均数，甲班的中位数小于乙班的，说明甲班学生成绩优秀人数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数，故③正确．

故答案为②③．

点评：本题考查了平均数、中位数、方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

17、（2011•南平）如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可得该几何体的体积为　3π　．（结果保留π）

考点：圆柱的计算；由三视图判断几何体。

分析：根据圆柱的体积等于底面积乘以高进行计算．

解答：解：由三视图，得圆柱的地面半径是=1，圆柱的高是3，

则圆柱的体积是3π．

故答案为3π．

点评：此题考查了圆柱的三视图和圆柱的体积公式．

18、（2011•南平）一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于　120　．

考点：多边形内角与外角。

专题：计算题。

分析：根据多边形的外角和等于360°，用360°÷a°，所得最小整数就是多边形的边数，然后再求出a即可．

解答：解：根据题意，机器人所走过的路线是正多边形，

∴边数n=360°÷a°，

走过的路程最短，则n最小，a最大，

n最小是3，a°最大是120°．

故答案为：120．

点评：本题考查了多边形的外角与边数的关系，判断出机器人走过的路线是正多边形并知道边数最少的多边形是三角形是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）

19、（2011•南平）先化简，再求值：x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1），其中x=﹣1．

考点：整式的混合运算—化简求值。

分析：本题需先对要求的式子进行化简，然后再把x=﹣1代入，即可求出答案．

解答：解：原式=x2+x﹣（x2﹣1）

=x2+x﹣x2+1

=x+1．

当x=﹣1时，

原式=﹣1+1=0．

点评：本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，在解题时要注意运算顺序和结果的符号是本题的关键．

20、（2011•南平）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。

专题：计算题。

分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

解答：解：由①得，x≤3，

由②得，x＞﹣2，

∴不等式组的解集是﹣2＜x≤3，

把不等式组的解集在数轴上表示为：

．

点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

21、（2011•南平）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．

（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）

（2）△A′B′C′的面积是：　6　．

考点：作图-位似变换。

专题：作图题。

分析：（1）延长OA到A′，使OA′=2OA，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；

（2）把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．

解答：解：（1）；

（2）△A′B′C′的面积=4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4=6，故答案为6．

点评：考查位似图形的画法及相关计算；得到关键点的位置是解决本题的关键；网格中三角形面积的求法通常整理为规则图形的面积的和或者差．

22、（2011•南平）在“5•12防灾减灾日”之际，某校随机抽取部分学生进行“安全逃生知识”测验根据这部分学生的测验成绩（单位：分）绘制成如下统计图（不完整）：

请根据上述图表提供的信息，完成下列问题：

（1）分别补全频数分布表和频数分布直方图；

（2）若从该校随机1名学生进行这项测验，估计其成绩不低于80分的概率约为　0.70　．

考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式。

专题：图表型。

分析：（1）根据60﹣70组的频数为2，频率为0.05，可求出调查的总人数，继而求出70﹣80组的频率，80﹣90组的频数．

（2）成绩不低于80分的概率=80﹣90组的概率+90﹣100组的概率．

解答：解：（1）补充后的频数分布表和频数分布直方图如下所示：

故答案为：0.70．

点评：本题考查了频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

23、（2011•南平）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？

考点：一次函数的应用。

分析：（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共20个，已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式．

（2）设购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，从而可求出解．

解答：解：（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，

y=80x+60（20﹣x）=1200+20x；

（2）设购买篮球x个，

x≥3（20﹣x）  解得x≥15，

要使总费用最少，x必须取最小值15，

y=1200+20×15=1500．

答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元．

点评：本题考查一次函数的应用，根据总钱数y做为等量关系列出函数式，然后根据自变量的取值范围求出最值．

24、（2011•南平）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠B=28°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．（结果精确到0.1）

考点：切线的判定与性质；解直角三角形。

分析：（1）连接OD，可证得AC∥OD，即可得出∠ODC=90°，即BC是⊙O的切线；

（2）连接DE，在直角三角形ADE中，利用∠BAD的余弦值求出线段AD的长．

解答：解：（1）连接OD，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAC，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，

即BC是⊙O的切线；

（2）∵∠B=28°，∴∠BAC=62°，

即∠BAD=31°，

∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°，

∵OA=6，∴AE=12，

∴cos∠DAE=，

∴AE=≈=14.0．

点评：本题考查了切线的判定和性质以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．

25、（2011•南平）（1）操作发现：

如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质。

分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；

（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AEF=180°﹣∠B=180°﹣∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．

解答：（1）猜想线段GF=GC，

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，

∴△ECG≌△EFG，

∴FG=CG；

（2）（1）中的结论仍然成立．

证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE=EF，∠B=∠AEF，

∴EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵矩形ABCD改为平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AEF=180°﹣∠B=180°﹣∠D，

∴∠ECD=∠EFG，

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，

∴FG=CG；

点评：此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．

26、（2011•南平）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2﹣2x+2是黄金抛物线．

（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；

（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位

①直接写出平移后的新抛物线的解析式；

②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]

【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣，顶点坐标是（﹣，）】．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用b2=ac即b2﹣ac=0的抛物线为黄金抛物线；

（2）根据题意得到b2=ac，然后结合根的判别式即可求得其根的判别式，根据判别式得到抛物线与x轴的交点情况即可．

（3）根据抛物线的平移规律即可得到平移后的抛物线的解析式，然后利用等腰三角形的性质即可得到使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等的点P的坐标．

解答：解：（1）答：如y=x2，y=x2﹣x+1，y=x2+2x+4等；（3分）

（2）依题意得b2=ac

∴△=b2﹣4ac（4分）

=b2﹣4b2

=﹣3b2，（5分）

∴当b=0时，△=0，此时抛物线与x轴有一个公共点（6分）

当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点（7分）

（3）答：①新抛物线的解析式为y=2x2﹣2x﹣1（9分）

②存在（10分）

有四个符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，﹣1），（﹣，），（，）（14分，答对一个给1分）

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．