从标准方程的推导看椭圆的三种定义

⼤家好，圆锥曲线有的多种定义，且在考试中也经常出现，下⾯我们以椭圆为例为探究其它定义．

⾸先我们来看⼀下教材上椭圆的标准⽅程的推导过程

(选修２－１，Ｐ３９)

我们重点来研究其中标注星号的三步

椭圆的第⼀定义

平⾯内到两定点的距离的和等于常数(⼤于两定点间的距离)的点的轨迹叫椭圆.

分析:在圆锥内放两个⼤⼩不同的球,使得它们分别与圆锥的侧⾯、截⾯相切．两个球分别与截⾯相切于点E、F，在截⼝曲线上任取⼀点A，过点A作圆锥曲线的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的⼏何性质可得AE=AC,AF=AB,则有AE+ AF=AB+AC=BC,由椭圆的定义可知截⼝曲线是椭圆．

椭圆的第⼆定义：

平⾯内到定点的距离与到定直线的距离之⽐为常数e (0引例１　(选修２－１,Ｐ50，Ｂ组第三题)点Ｍ与定点Ｆ(２，０)的距离和它到定直线x=8的距离引例１

之⽐为１：２，求点Ｍ的轨迹⽅程，并说明轨迹是什么图形．

上式的⼏何意义为，平⾯内动点与两定点连线的斜率之积为负常数

椭圆的第三定义: 平⾯内,与两定点连线的斜率之积为⼀负常数 (除-1外) 的动点轨迹为椭圆(不含两定点)．

性质：性质：椭圆的中⼼弦也是有此性质的，即标准⽅程下过原点的直线与椭圆交于ＡＢ两点椭圆的中⼼弦也是有此性质的，即标准⽅程下过原点的直线与椭圆交于ＡＢ两点时，椭圆上的任⼀点也与Ａ、Ｂ连线的斜率之积也是这⼀负常数．

引例1 （2010年⾼考北京卷）在平⾯直⾓坐标系中，点B 与点A （－1，1）关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于求动点P 的轨迹⽅程．

分析：分析：由椭圆的第三定义及性质可以知道动点Ｐ的轨迹为椭圆，焦点在x 轴上，

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图|数之研

⽂|数之研