2023-2024学年辽宁省高一上册期末考试数学试题(含解析)

一、单选题

1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B ⋃=（）

A ．{}1,2

B ．{}

0,1,2C ．{}

1,0,1,2-D ．{}

1,0,1,2,3-【正确答案】D

【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，所以{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故选：D.

2．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD =2，AB =BC =CD =1，E 为AD 的中点．则下列式子不正确的是（

）

A ．A

B AE AC

+= B ．

BE EC = C ．AB CD ED -=

D ．0

ED CB += 【正确答案】C

【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.

【详解】由题意1,//,//,AE ED BC AE BC ED BC AE ED BC ===∴==

，

并且四边形ABCE 和四边形BCDE 都是平行四边形，即,BE CD AB EC ==

，

对于A ，AB AE AC +=

，正确；

对于B ，1,1BE CD EC AB ====

，正确；

对于C ，ED AE AB BE AB CD AB CD ==+=+≠-

，错误；

对于D ，,0ED BC CB ED CB ==-∴+=

，正确；

故选：C.

3．“12x -≤”是“

22

11

x x -≤+”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：由12x -≤，解得13x -≤≤，由

22

11

x x -≤+，解得13x -<≤，显然1313x x -<≤⇒-≤≤，但是13x -≤≤推不出13x -<≤，所以“12x -≤”是“

22

11

x x -≤+”的必要不充分条件．故选：B.

4．下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是（）

A ．()4f x x =+

B ．()4f x x =-

C ．()ln 3

f x x =-D ．()38

x

f x =-【正确答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可．【详解】对于A ，()4f x x =+是增函数，令()40f x x =+=，则40x =-<，故A 错误；

对于B ，()4f x x =-在()0,+∞上是减函数，故B 错误；对于C ，令()ln 30f x x =-=，则3e 5x =>，故C 错误；

对于D ，()38x f x =-是增函数，令()380x

f x =-=，

则()3log 81,2x =∈，故D 正确；故选：D ．

5．已知23log 2a =，5log 6b =，3

c =，则a ，b ，c 的大小关系为（

）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．b c a >>

D ．c b a

>>【正确答案】C

【分析】根据对数函数的单调性即可求解.

【详解】由对数函数的单调性可知：223

3

log 2log 01a ==<，55log 65log 1b ==>，又

()0,13

c =

，所以b c a >>．故选.C

6．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（

）

A ．

38

B ．

716

C ．

58

D ．

916

【正确答案】B

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为7

16

．故选：B.

7．下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰）

，根据下图，则（）

A ．这10年的人口出生率逐年下降

B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%

C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰

D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰【正确答案】D

【分析】由走势图对选项一一验证即可.

【详解】对于A ：这10年的人口出生率有升有降，故A 错误；

对于B ：这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于50%，故B 错误；

对于C ：由于100.88⨯=，则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数

13.5713.83

13.702

+=，故C 错误；

对于D ：这10年的人口出生率的平均数为

()1

14.5713.0313.8311.9913.5712.10.8610.418.527.5211.69410

+++++++++=小于12‰，故D 正确；故选：D.

8．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t S ab =，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为34

a

（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为

3

a

（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：

lg 20.30,lg 30.48≈≈）

A ．13年

B ．14年

C ．15年

D ．16年

【正确答案】D

【分析】由条件列式4

34a ab =

先确定参数，再结合对数运算解方程3

t

a a

b =.

【详解】由题意，4

34a S ab ==

，即4

34b =，所以b =，

令3t a ab =，即13t

b =，故13t

=，即1lg 3t =，

可得1

(lg32lg2)lg34

t -=-，即4lg 3162lg 2lg 3t =

≈-．故选：D

二、多选题

9．已知e 是直线l 上的一个单位向量，a 与b

都是直线l 上的向量，且2a e = ，3b e =- ，则（

）

A ．b

的坐标为3

-B ．||3

b = C ．23a b +

的坐标为5

D ．|23|5

a b += 【正确答案】ABD

【分析】根据题意得到22a e == ，33b e =-= ，,a b

的夹角为180 ，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为3b e =- ，所以b

的坐标为3-，故A 正确；对选项B ，33b e =-=

，故B 正确.

对选项C ，因为2a e = ，3b e =-

，所以23a b + 的坐标为5-，故C 错误；对选项D ，因为22a e == ，33b e =-= ，,a b 的夹角为180 ，所以()

()2

22223491242991223125a b

a b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-=

，

所以|23|5a b +=

，故D 正确.

故选：ABD

10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）

A ．平均数为8.5

B ．平均数为8

C ．方差为10.5

D ．方差为10

【正确答案】BC

【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.【详解】由题意，该样本数据的平均数109107

81010

a ⨯+⨯=

=+，

方差2

2

2101011(98)8(78)10.52020

s ⎡⎤⎡⎤=

⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：BC

11．设函数()()ln f x x a =-，则下列说法正确的是（）

A ．()f x 是偶函数

B ．当1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0∞-

C ．若()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为(,0]-∞

D ．若()f x 的值域为R ，则a 的取值范围为[0,)

+∞

【正确答案】AD

【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.

【详解】对于A 选项，因为当0a >时，函数定义域为(,)(,)a a -∞-+∞ ，当0a =时，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ；

当a<0时，函数的定义域为R ，函数定义域关于原点对称，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故A 正确；

对于B 选项，当1a =时，令10x ->，解得1x <-或1x >，由复合函数的单调性可知()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，故B 错误；

对于C 选项，若()f x 的定义域为R ，则0x a ->恒成立，故a<0，则a 的取值范围为(),0∞-，故C 错误；

对于D 选项，若()f x 的值域为R ，则0a -≤，故0a ≥，则a 的取值范围为[0,)+∞，故D 正确．故选.AD

12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，且()()11f x g x ++=，

()()13f x g x +-=，则（

）

A ．()g x 的图象关于直线2x =对称

B ．()f x 的图象关于点()0,2对称

C ．()f x 是以3为周期的周期函数

D ．()g x 是以4为周期的周期函数

【正确答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可．【详解】由()()11f x g x ++=，可得()()121f x g x +++=，

又()()13f x g x +-=，所以()()22g x g x ++=-，则()()422g x g x +++=-，所以()()4g x g x +=，所以()g x 周期为4，故D 正确；同理可得()()4f x f x +=，所以()f x 周期为4，故C 错误；．因为()g x 为偶函数，所以()()()4g x g x g x -==+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，故A 正确；

因为()()11f x g x ++=，可得()()11g x f x =--，

又()()13f x g x +-=，所以()()13g x f x -=--，

由()()g x g x -=，可得()()1113f x f x --=--，即()()114f x f x -+-=，

所以()f x 的图象关于点()0,2对称，故B 正确；

故选：ABD ．

三、填空题

13．已知(,2)a m =- ，(3,1)b = ，若a b ∥ ，则a =r ______．

【正确答案】【分析】首先根据a b ∥ 得到6m =-，再计算a 即可.

【详解】由a b ∥ ，得60+=m ，则6m =-，故||a ==

故四、双空题

14．某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，将数据按

[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[]60,70分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则=a ______．要从日支出在[]50,70的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[]60,70中被抽取的人数为______．

【正确答案】0.0052

【分析】根据频率之和为1列出方程，求出0.005a =，得到[50,60)内和[]60,70内的样本比例，从而得到在[]60,70中被抽取的人数.

【详解】()20.020.0250.045101a ⨯+++⨯=，解得0.005a =．

因为[50,60)内和[]60,70内的样本个数比例为0.020:0.0054:1=，

根据分层抽样可知，日支出在[]60,70中被抽取的人数为110214

⨯

=+．故0.005，2五、填空题

15．设a ，b ∈R ，若22936a b ab ++=，则3a b +的最大值为______．

【正确答案】【分析】利用条件变形和问题建立起联系：()2336a b ab +=+，再利用基本不等式求出ab 的范围即可求解.

【详解】()22293633a b ab a b ab ++==+-，

即()2336a b ab +=+，

因为229363a b ab ab ++=≥，可得23

ab ≤，当且仅当3a b =时，等号成立，所以()23368a b ab +=+≤，

即3a b +的最大值为

故答案为.16．已知ABC 内一点P 满足14

AP AB AC λ=+ ，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】5

12

【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ= ，14AN AC = ．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判

断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+ ，又14

AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ= ，14

AN AC = ．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．

又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PN BH AB

λ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =

△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，

所以11143λ+

+=，解得512

λ=．故答案为.5

12

六、解答题

17．已知命题:p x ∃∈R ，20x mx m ++<，集合A 是命题p 为假命题时实数m 的取值集合，函数()()ln f x x a a x =++

-B ．

(1)求集合A ；

(2)已知0a >，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．

【正确答案】(1)[]

0,4A =(2)()4,+∞

【分析】（1）分析可知，命题p 的否定为真命题，由0∆≤可求得集合A ；

（2）求出集合B ，分析可知A

B ，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值

范围.

【详解】（1）解：命题p 的否定为x ∀∈R ，20++≥x mx m ，

命题p 的否定为真命题等价于240m m ∆=-≤，解得04m ≤≤，所以[]0,4A =．（2）解：0a > ，要使()f x 有意义，则00x a a x +>⎧⎨->⎩

，解得a x a -<<，则(),B a a =-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A

B ，

所以，04a a -<⎧⎨>⎩，解得4a >，当4a =时，()4,4B =-，此时A B .

因此，实数a 的取值范围是()4,+∞.

18．已知幂函数()()23m f x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减．

(1)求()f x 的解析式；

(2)若[]1,2x ∀∈，()2x a f x x

-≤，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()2f x x

-=(2)(,1]

-∞【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；

(2)根据题意分离变量得到12x a x

≤-在[]1,2恒成立，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为幂函数()()23m f x m x =-⋅在()0,∞+上单调递减，所以2310m m ⎧-=⎨<⎩

，解得2m =-，所以()f x 的解析式为()2f x x -=．

（2）由()2x a f x x

-≤，可得12x a x ≤-，则12x a x ≤-，因为12,x y y x

==-在[]1,2上单调递增，

所以12x y x

=-在[]1,2上单调递增，所以当1x =时，取得最小值1．所以a 的取值范围为(,1]-∞．

19．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12

log 4f x x m =++．(1)求m 的值并求出()f x 在(),0∞-上的解析式；

(2)若()1f a >，求a 的取值范围．

【正确答案】(1)2m =，()()12

log 42

f x x =--+-(2)()

,4-∞-【分析】（1）根据函数为R 上的奇函数得到()00f =，求出m 的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；

（2）得到函数的单调性及()12

4log 821f -=--=，从而解不等式，求出答案.【详解】（1）由题可知()020f m =-+=，即2m =，经检验符合题意，

令0x <，则0x ->，()()12

log 42f x x -=-++，又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，

所以()()12log 42f x x -=-++，故()()12

log 42f x x =--+-，故()f x 在(),0∞-上的解析式为()()12

log 42f x x =--+-．（2）由函数性质可知()f x 在[0,)+∞上单调递减，则()f x 在R 上单调递减．

又因为()12

4log 821f -=--=，所以()1f a >，即()()4f a f >-，所以当4a <-时，()1f a >，即a 的取值范围为(),4-∞-．

20．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互，现有甲、乙两位选手参加本次活动．

(1)求甲未获得奖金的概率；

(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．

【正确答案】(1)0.825

(2)0.0098

【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金的概率；

（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解.

【详解】（1）获得二等奖的概率为0.70.50.50.80.14⨯⨯⨯=，

获得一等奖的概率为0.70.50.50.20.035⨯⨯⨯=，

所以甲未获得奖金的概率为10.140.0350.825--=．

（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，则所求的概率为0.0350.140.140.0350.0098⨯+⨯=．

21．已知m >0，n >0，如图，在ABC 中，点M ，N 满足AM mAB = ，AN nAC = ，D 是线

段BC 上一点，13

BD BC = ，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+ ，证明：//OE BC ．

(2)求2m n +的最小值．

【正确答案】(1)证明见解析(2)4

3

【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用,AB AC 依次表示,,,,AD AE AO OE CB ，再结合

向量共线定理证明//OE CB 即可；

(2)由(1)1136AE AM AN m n =+ ，结合结论可得11136m n

+=，再利用基本不等式求2m n +的最小值．

【详解】（1）由题可知()11213333

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，因为点E 为AD 的中点，所以1136

AE AB AC =+ ．由2AO OB OC =+ ，则2AO OA AB OA AC =+++ ，即()14

AO AB AC =+ ，()

1111131212OE AE AO AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭ ，又CB AB AC

=- 所以//OE CB ，又,,E C B 三点不共线，所以//OE BC ．

（2）因为M ，N ，E 三点共线，

所以可设ME MN λ= ，又AM mAB = ，AN nAC = ，

所以()()11AE AM AN mAB nAC

λλλλ=-+=-+ 又1136

AE AB AC =+ ，所以()111,36

m n λλ-==，所以11136m n

+=，

所以11112242(2)3633363

3n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23

m =，13n =时，等号成立．所以2m n +的最小值是43．22．已知函数()()4422x x x x f x m n --=+-++．

(1)证明：当0m n ==，()f x 在()0,∞+上单调递增．

(2)若()f x 恰有3个零点，求m 的取值范围．

【正确答案】(1)证明见解析

(2)()

4,+∞【分析】（1）当0m n ==时，()44x x f x -=+，根据单调性定义证明设任意1x ，()20,x ∈+∞，

且12x x <，化简计算()()12f x f x -即可得到()()12f x f x <，即可证明；

（2）计算可得()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，则当()f x 恰有3个零点时，()00f =，即可得到m 与n 的关系，即可代入函数解析式消去n ，得到()()()2

222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点，根据单调性定义证明

22x x y -=+在()0,∞+上单调递增，则令()222,x x t -=+∈+∞，得到2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，即可解出答案.

【详解】（1）证明：当0m n ==时，()44x x f x -=+．

设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，

()()()()()1122121212144444414x x x x x x x x f x f x --+⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭

，因为120x x <<，

所以12440x x -<，即121104x x +>-

，

所以()()12f x f x <，

所以()f x 在()0,∞+上单调递增．

（2）因为()()f x f x -=，

所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称．

因为()f x 恰有3个零点，

所以()00f =，即220m n -+=．

此时()()()()2442222222224

x x x x x x x x f x m m m m ----=+-++-=+-++-，所以()()()2222224x x x x f x m m --=+-++-在()0,∞+上恰有一个零点．

由（1）同理可知22x x y -=+在()0,∞+上单调递增．

令()222,x x t -=+∈+∞，则2240t mt m -+-=在()2,+∞内恰有一个解，

即2m t =+，则4m >，

所以m 的取值范围为()4,+∞．