2015年春季五年级奥数讲义

✿知识精要

1、我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。如：2＋3＝5，2×3＝6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”。

   2、解题关键：是要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。

   3、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。

✿例题精讲：

例1、设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。

（1）求5△6；6△5。

（2）求（17△6）△2 ；17△（ 6△2）。

（3）这个运算△有交换律和结合律吗？

（4）如果已知4△b=2,求b。

练习：

1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。

2、设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：

  （1）（5*6）*7    （2）5*（6*7）

例2、对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b。

（1）求6 ⊕ 2；2 ⊕ 6。

（2）求（17 ⊕ 6） ⊕ 2 ；17 ⊕ （ 6 ⊕ 2）。

（3）这个运算⊕有交换律和结合律吗？

（4）如果5⊕x=17,求x。

练习：

1、对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。

（1）求3⊕5, 5⊕3 。      （2）求12⊕ （3⊕4）, （12⊕ 3）⊕4。

2、对于两个数A与B，规定：A○B=A×B÷2。试算6○4，4○6。

例3、如果：2△3=2＋3＋4,5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 

练习：

1、如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。

2、如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。

例4、对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。

已知x□6=27，求x。 

练习：

1、如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。

2、对于两个数a与b，

规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。

例5、2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：7▽3。 

练习：

1、有一个数算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。

2、⊙表示一种新运算符号。已知2⊙3=9，7⊙2=15，3⊙5=25。

按此规律计算：16 ⊙4。

✿针对练习：

1、有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，

求A。

2、对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。

如果5⊕x=29，求x。

3、如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，

   求x。

4、如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，

   按此规律计算5。

3、有一个数算符号“▽”，使下列算式成立：5▽2=60，

7▽3=861，4▽4=4936，按此规律计算：1▽5。

第二讲    假设法解题

✿趣味数学

   “鸡兔同笼”问题是我国古代一类著名的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代名著《孙子算经》中。在那时，一个名叫孙子的人。有一天，他到一位朋友家中做客，看到朋友养了很多的鸡和兔，随口问道：“你家里养了多少只鸡和兔啊？”朋友回答说：“鸡、兔共35只，脚共94只。请你算一下，鸡、兔各有几只？”你们知道孙子的朋友家养的鸡和兔各多少只吗？ 

✿知识回顾

1、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有10个头，从下面数有32条腿。鸡和兔各有几只？

2、鸡兔同笼，共有45个头，146条腿。笼中鸡兔各有多少只？

3、停车场上停放了39辆三轮车和自行车，两种车共有108个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？

✿例题精讲

例1、52名师生到颐和园去划船，共租了11条船。每条大船坐6人，每条小船坐4人，且每条船恰好坐满。大船、小船各租了多少只？

例2、为了迎接“新中国60华诞”，学校组织了“祖国在我心中知识竞赛”。共20道题，每做对一道题得5分，做错或未答扣2分。小明本次竞赛得了79分，他做对了多少道题？

例3、有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币和10元币各多少张？

例4、运输公司给某工厂运送2000箱玻璃。合同规定：完好运到一箱给50元运费；如损坏一箱，不但不给运费，还要赔偿400元成本费。这批玻璃运到后，运输公司共收到运货款91900元。运输过程中，损坏了几箱玻璃？

例5、有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元。已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？

✿针对练习：

1、鸡兔同笼，共有100个头，320只脚。鸡兔各有多少只？

2、签字笔每支1.9元，圆珠笔每支1.1元。小红两种笔共买了16支，花了28元。小红两种笔各买了多少支？

3、停车场上停放了24辆汽车和三轮摩托车，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，停车场上有三轮摩托车多少辆？

4、六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花28元。其中单程票每张0.2元，往返票每张0.4元。那么单程票和往返票相差多少张？

5、某此数学竞赛，共有20道题。每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分。小聪本次竞赛得了60分，他做对了多少道题？

6、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗个多少首？

7、有2分和5分硬币共78枚，总钱数为2元6角4分。两种硬币各多少枚？

8、小明从甲地翻山到乙地，路程是19.5千米，上山每小时走3千米，下山每小时走5千米，共花5.5小时。问上、下山各用多少小时？

9、鸡兔同笼共100只，鸡的腿比兔的腿多80只，问鸡与兔各多少只？

10、甲、乙、丙三个数的和是260，其中甲数比乙数多20，乙数比丙数多60，甲，乙，丙三个数各是多少？

11、王老师在班上搞了一次数学小测验，共20道选择题，规定答对一道题得8分，答错一道题扣5分，不答得0分，结果小华一共得了92分。问小华一共答对了几道题？

12、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？

13、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少张？

14、100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个？

15、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿11，翅膀20对。问蜻蜓有多少只？（蜘蛛腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀）

第三讲   倍数与因数（一）     

✿知识精要：

被除数，除数，商都是整数，并且结果没有余数，符合这两个条件就称为“整除”。

一个数的因数是                       ，最小的是          ，最大的是           。

一个数的倍数是                       ，最小的是          ，最大的是           。

既是一个数的因数又是这个数的倍数是                  。

能被2整除的数的特征：                                       

我们把能被2整除的数叫做       。不能被2整除的数叫做       。

能被5整除的数的特征：                                       

能被3整除的数的特征：                                                 

既能被2又能被5整除的数的特征是                                       

能被2、3、5整除的数的特征是                                          

✿例题精讲：

例1、找规律，按照下面每个数因数的个数进行分类。

1的因数：                         2的因数：                   

3的因数：                         4的因数：                   

5的因数：                         6的因数：                   

7的因数：                         8的因数：                   

9的因数：                         10的因数：                   

总结：

                                叫做质数。质数有      个因数。

                                叫做合数。合数最少有      个因数。

      既不是质数也不是合数，它有      个因数。

最小的质数是        。最小的合数是        。

自然数中，        既是质数又是偶数。

练习：写出100以内所有的质数。

例2、﹙1﹚36是质数还是合数？               。

﹙2﹚把36写成几个质数相乘的形式： 36＝                        

方法一：                       方法二：

总结：

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做                  。

“质因数”既是这个数的     数，还必须是     数。

练习：用短除法将8，30，24，50分解质因数。

例3、写出每组数中公有的因数。

8和9：                18和1：                    3和6：             

13和14：                1和30：                   9和12：                        

25和26：                13和31：                 18和24：              

总结：

 当                                                     叫做“互质数”

思考：哪种情况下的两个数一定是互质数？

    （1）                                 

（2）                                 

（3）                                 

练习：下面哪几组是互质数？

14和1和1和2和2和27

24和1和6和4和5和14

例4、12和18两个数的最大的公因数是       ？

方法一：（求两个数的因数）                      

方法二：（分解质因数）

方法三：（短除法）

练习：求下面各组数的最大公因数。

8和14            15和25          81和27          91和21        56和72    

例5、12和18两个数的最小的公倍数是       ？

方法一：（求两个数的倍数）                      

方法二：（分解质因数）

方法三：（短除法）

练习：求下面各组数的最小公倍数。

7和14         15，70和25         45和36        16，和24        57和9  

例6、用短除法求最大公因数和最小公倍数。 

       99和11                和16                5 ，45和15   

       11和12                13和17                 8，9和7

总结：

 （1）当两个自然数是        关系时，它们的最大公因数是                ，它们的最小公倍数是                。

（2）当两个自然数是        关系时，它们的最大公因数是                ，它们的最小公倍数是                。

练习：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

50和75　　　 　　78和2和11　　　　　　　  36和54

15和20　　　　　　35和4、24和36　　　　　　  45、60和75

✿针对练习

一、填空：

1、写出下列数的所有因数

16（ ） （ ）

23（ ） （ ）

81（ ） （ ）

62（ ） （ ）

2、30＝1×30＝（ ）×（ ）＝（ ）×（ ）＝（ ）×（ ）

3、6×4=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是4的（ ）。

4、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（　　　）。

5、既是42的因数，又是7的倍数，这些数有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。

6、既是24的因数又是8的倍数：  

7、能同时被2、3、5整除的两位数有(　 　)。

8、有因数3，也是2和5的倍数的最小三位数是（　　　 　）。

9、凡是个位上是（ ）或（ ）的数，都是5的倍数。一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字一定是（ ）。

10、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ）；一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ）。

11、在自然数中，最小的奇数是(，最小的偶数是

12、 48的最小倍数是（ ），最大因数是（ ）。最小因数是（ ）。

13、 用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（ ）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（ ）。

14、在 27、68、44、72、587、602、431、800中。

奇数是（ ），偶数是（ ）。

15、如果275□4是3的倍数，那么□里最小能填（　　  　），最大能填（　　 　　 ）。

16、a是大于0的自然数，它的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。

17、最小的自然数是(　 　)；最小的奇数是(　　)；最小的偶数是(　 　)；最小的质数是(　 　)；最小的合数是(　 　)。

18、即有因数2，又有因数3的最小数是(  　  　)；既有约数2，又有因数5的最小数是(　 　)；既有因数3，又有因数5的最小的数是(　 　)。

19、既不是质数，又不是偶数的最小自然数是(　  　)；既是质数；又是偶数的数是(　  　)；既是奇数又是质数的最小数是(　  　)；既是偶数，又是合数的最小数是(　  　)；既不是质数，又不是合数的最小数是(　  　)；既是奇数，又是合数的最小的数是(　  　)。

20、除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是(　 　)。

21、甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是(　 　)；最小公倍数是(　)。

22、从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数(　 　)。

23、A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A、B 的最小公倍数是（ 　）。

二、判断题

1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。             (       　 )

2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。                         (       　 )

3、个位上是0的数都是2和5的倍数。                           (       　 )

4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。   (       　 )

5、5是因数，10是倍数。                                       (       　 )

6、任何一个自然数最少有两个因数。                             (       　 )

7、一个自然数越大，它的因数个数就越多。                       (       　 )

8、任何数都没有最大的倍数。                                   (       　 )

9、1是所有非零自然数的因数。   　 )

10、一个数的因数总是比这个数小。                              (      　  )

11、互质的两个数中，至少有一个是质数。                        (       　 )

12、所有的质数都是奇数。                                      (       　 )

13、质因数必须是质数，不能是合数。                            (       　 )

14、有公约数1的两个数一定是互质数。                          (       　 )

15、1是质数而不是偶数。　  (　 )

16、质数一定是奇数，合数一定是偶数。                          (       　 )

17、两个质数的和一定是偶数。                                  (       　 )

18、除2以外，所有的质数都是奇数。                            (       　 )

19、连续的两个自然数相加的和一定是奇数。                      (       　 )

20、两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．          (       　 )

三、选择题

1、15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。

①1②3③5④15

2、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。

①倍数 ②因数 ③偶数

3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。

①6②1③2④144

4、自然数中,凡是17的倍数（ ）。

①都是偶数 ②有偶数有奇数 ③都是奇数

5、下面的数，因数个数最多的是（ ）。

① ② ③  40

6、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（ ）。

①奇数和偶数 ②倍数和因数 ③倍数、因数和0

7、甲数×3=乙数，乙数是甲数的（ ）。

① 倍数 ② 因数 ③  自然数

8、同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。

① ② ③ ④ 810

9、在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（　　　　　　）。

①　95　　　　  　②　 90　　　 ③ 75

10、从323中至少减去（　　　　　 ）才能被3整除。

①减去3　　　  　②减去2　　 　　③减去1

11、已知a能整除19，那么a（ 　）

①是3　  ②必定是19　 ③是整数 　④是1或者19

12、一个数的最大因数（ 　）它的最小倍数．

①＞ ②＜ ③＝

13、几个质数的连乘积是（　 ）

　 ①合数 　②质数 　③最大公因数 　④最小公倍数

14、甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（ 　）

　 ①1　②甲 　③乙 　④甲×乙

15、一个数的最大因数（ 　）它的最小倍数．

　 ①＞ 　②＜ 　③＝

16、已知a能整除19，那么a（ 　）

　 ①是3　②必定是19　 ③是整数　 ④是1或者19

17、一棵桔子上结了不少桔子，表示桔子个数的数是（　 ）

　 ①小数 　②分数 　③自然数

18、下列除不尽的算式是（　 ）

　 ①16÷8＝2　 ②5÷2＝2　③12÷18＝0.6.....

19、一个质数的因数有（　　　　　　 ）个。

 ①　1　　　　　 ②　 2　　　　　　    ③　 3

20、在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（　　　　　　）。

 ①　95　　　　　　 ②　 90　　　　　 ③ 75

21、从323中至少减去（　　　　　 ）才能被3整除。

 ①减去3　　　　 　②减去2　　　　 ③减去1

22、20的质因数有（　　　　）个。

 ① 1　　　　　　　  ②　2　　　　　　 ③3

23、下面的式子，（　　　　　　 ）是分解质因数。

①54＝2×3×9　　    ②42＝2×3×7　　　 ③15＝3×5×1

四、1、2、3、6、8、16、24、32、84、96各数按要求填在横线上。

 6的倍数                        的倍数                        

 24的因数                        的因数                       

五、 从0、3、6、9中任意选出3个数字，组成符合要求的三位数，

（1）3的倍数有：                           

（2）同时是2、5的倍数有：                           

（3）同时是2、3的倍数有：                           

（4）同时是2、3、5的倍数有：                           

六、食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？

七、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？

八、（思考题）偶数+偶数=奇数+奇数=偶数+奇数

不计算，直接判断下列算式的结果是奇数还是偶数，填在横线上。

1428+205                               

454+222                               

1454+54                                

九、找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

20　　 　29　　　 　　 　53　　 　 91　　 　 102　 　　117

十、求下面各组数的最大公因数。

56和42　          84和105　            54、72和90　        60、90和120

十一、求下面各组数的最小公倍数。

18和36　        　 45和135　　         8、18和72　       　48、16和24

第四讲     倍数与因数（二）                                             

✿知识精要：

能被2整除的数的特征：  个位上是0,2,4,6,8的数；

能被5整除的数的特征：  个位上是0或5的数；

能被3整除的数的特征：  各个数位上数字之和是3的倍数；

能被2、5整除的数的特征：  个位数字是0；

能被2、3、5整除的数的特征： 个位数字是0，并且能被3整除；

能被4整除的数的特征：  末两位能被4整除；

能被8整除的数的特征：  末三位能被8整除；

能被9整除的数的特征：  各个数位上数字之和能被9整除  ；

能被7，11和13整除的数的特征： 末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差（大数减小数）能被7或11或13整除。

✿例题精讲：

例1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

　    　234，  7，  7756，  8865，  3728，  80。

例2、在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

例3、从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例4、五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

例5、六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？

例6、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

例7、abcabc能否被7，11和13整除。 

例8、判断2684962能不能被7或11或13整除。

例9、判断306371能否被7整除？能否被13整除？

例10、已知七位数138A679是7的倍数，求A。

✿针对练习：

练习：

1、6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2、个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3、一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？

4、五位数能被12整除，求这个五位数。

5、有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？

6、在□内填上合适的数，使五位数2□10□能同时被8和9整除。

7、学校买了72只小足球，上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？

8、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？

　　 88205，       167128，         2504，        396500，

675696，       796842，         805532，       75778885。

9、六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？

10、已知10□71能被11整除，求□中的数。

11、判断76能不能被7或11或13整除。

12、 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

13、四位数7AA3被9整除，则A=（          ）

14、在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。

15、1□是一个四位数，在□内依次填入三个数字，使组成的三个四位数依次能被6、9、

11整除。这三个数字之和是（             ）。

16、四位数6a2b能被2、3、5整除，这样的四位数是（            ）。

17、写出一个同时能被3、9、11整除的最大四位数：（            ）。

18、首位是7，其余各位数字都不相同，并能被9整除的七位数中最小的是（          ）。

19、有一个六位数□19□能被88整除，这个六位数是（              ）。

    第五讲     倍数与因数（三）

✿例题精讲:  

例1、求240有多少个约数，其约数和是多少？

例2、用一张长1072毫米，宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少（不同方法）？

例3、求1×2×3×4×……×48×49×50乘积的末尾有多少个连续的0。

✿针对练习:  

1、求360有多少个约数？其约数和是多少？

2、求437和323的最大公约数是多少（用辗转相除法）？

3、将一个长、宽分别是1833cm和423cm的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少可以分割成多少个？

4、用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜一元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。问共买了多少支钢笔？

5、165有多少个约数？其约数和是多少？

6、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。问小明买了多少张画片？

7、求10×11×12×13×14×……×98×99×100它所包含的因数5的个数。

8、自然数6的因数有1、2、3、6，这些因数之和除去它本身即为1+2+3=6，我们将除去他本身，其他的因数之和为它本身的数称之为“完全数”，30以内还有一个“完全数”，请你找到它。

9、已知一个自然数，它最小两个因数的和是4，最大两个因数的和是60，这个自然数是多少？

10、将一个三位数的个位上与百位上数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的积等于65125，这两个三位数的和是多少？（思考）

                      第六讲   长方体和正方体（一）     

✿例题精讲：

例1、将下面的硬纸板按虚线折成一个立方体，哪两个面是相对的？

例2、 用8块棱长1厘米的立方体小木块拼成长方体（含正方体），其中表面积最小的是哪个？最小表面积是多少？

例3、 将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体。

（1）两个长方体表面积的总和最大？

（2）两个长方体表面积的总和最小？

例4、一张长、宽分别为12 dm、10dm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为2 dm的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的容积大约是多少升？

例5、观察计算，玻璃杯中原有500mL水，现在在玻璃杯中放入一个土豆，则玻璃杯的水到了625mL，求土豆的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？

例6、一个长方体形状的玻璃缸，长16厘米，高20厘米，缸内有水，水深15厘米（如右图）。将这个玻璃缸翻转，使它的右面朝下，这时水深是多少厘米？

例7、一块正方体木头，棱长6厘米，在6个面的挖一个长、宽、高都是2厘米的洞孔，这时它的表面积、体积各是多少？

✿针对练习：

1、下列哪些图形能拼成正方体？                        

2、一本数学书的体积大约3000立方厘米，则10本书的体积是           立方厘米，相当于___________立方分米。

3、在原有水500mL的玻璃杯中放一个苹果后，则 玻璃杯的水上升到855mL，则这个苹果的体积为________立方分米。

4、  7.85m³=（      ）dm³      0.6m³=（       ）dm³    650dm³=（         ）m³         4500cm³=（        ）dm³  1.4m³ =（        ）dm³   2.7dm³=（       ）cm³     360cm³=（      ）dm³            2800dm³=（           ）m³   

     40dm³ =（     ）m³              25dm³=（          ）cm³

5、将一个正方体钢坯锻造成长方体，则正方体与长方体的_________不变。

6、一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的__________是6立方米。

7、迎迎用几个体积为8cm³的正方体积木做了一个几何体，则这个几何体的体积为多少？

8、用一根铁丝刚好焊接成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？

9、用110厘米长的铁丝焊接成一个长方体框架，长是宽的2倍，宽是高的 1.5倍，求长、宽、高。

10、一间教室的长是8米，宽是6米，高是4米。要粉刷教室的屋顶和四个墙面，除去门窗和黑板面积25.4平方米，如果每平方米要4元涂料费，粉刷这个教室需要花多少元？

11、一个长方体沙坑的长是8米，宽是2.5米，深是60厘米，每立方米沙土重1.75吨，填平这个沙坑要沙土多少吨？

12、一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米。这根木料的体积是多少？

13、用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的 长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米；一个是正方体，它的棱长是4厘米。计算一下，哪个盒子的表面积大？大多少？

14、一根长1.5米的长方体木料，底面是正方形，把木料锯成两段后，表面积增加0.18平方分米，求原来木料的表面积？

15、一个底面是正方形的长方体纸盒，将它的侧面展开正好是一和边长为6分米的正方形，做这个纸盒至少要多少纸板？

16、 贝贝用一些体积为8cm²的正方体积木拼成一个大长方体模型，（如下图）这个长方体模型的体积为多少cm³？

17、一个长方体水箱，从里面量长4分米，宽3.2分米，高2.5分米。如果把这样一箱水倒入杯子里，一个杯子的容积是400毫升，一共可以分装多少杯？

18、一根长方体形状的木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样的正方体，表面积增加32平方分米，这根长方体木料的体积是多少？

19、一个长方体玻璃缸，长0.5米，宽30厘米，里面水深10厘米，现将一石头完全浸入水中，水面上升1厘米，求石头的体积。

20、一个长方体表面积为78平方厘米，底面积为15平方厘米，底面周长为16厘米，求长方体体积。 

21、一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？

第七讲    长方体和正方体（二）

✿例题精讲：

例1、一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少立方厘米？

例2、18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积。

例3、如图，在一个棱长是5厘米的大正方体上面粘一个棱长1厘米的小正方体，求整个图形的表面积是多少？

例4、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个看棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？

例5、把一块棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个？

✿针对练习：

1、一个长和宽相等的长方体，如果高截去4分米，剩下的就成了一个正方体，表面积比原来少了80平方分米。原来的长方体体积是多少？

2、一个长方体，它的前面、上面、侧面面积分别为18平方厘米、12平方厘米和24平方厘米，已知它的长、宽、高都是整厘米数，这个长方体的体积是多少立方厘米？

3、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米？ 

4、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如下图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？

5、 有一个长方体形状的零件。中间挖去一个正方体的孔（如下图）。你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 

6、一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：

（1）三个面涂有红色的有几个？

（2）二个面涂有红色的有几个？

（3）一个面涂有红色的有几个？

（4）六个面都没有涂色的有几个？

7、希望小学准备盖两个活动室（地基形状、大小如图），为了打地基需要挖1m宽，0.8m深的沟，需要挖出的土石方有多少立方米？ 

8、一根长方形状的木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样的正方体，表面积增加32平方分米，这根长方体木料的体积是多少？

9、下图是一个无盖长方体纸盒的展开图。展开图的面积是176平方厘米，已知AB＝3BC＝3CD，这个纸盒的容积是多少立方厘米？  

10、如图所示是一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，现将它按图中虚线锯开，先锯成24块小长方体，这24块小长方体的表面积之和是多少？

11、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米） 

12、如图，一个正方体切去一个长方体后，剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米）

13、有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，里面水深2分米。把一块假山石浸入水中后，水面上升了1.2分米。这块假山石的体积是多少立方分米？

14、把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的，二面涂红色的，三面涂红色的的以及六个面都没有涂色的各有多少个？

第八讲   分数大小比较       

✿知识精要：

1、母同看子法。（分母相同，分子大的分数比较大。）

2、子同看母法。（分子相同，分母大的分数比较小。）

3、用1比较法。（接近1，用1减，得数越大原数就越小。）

4、用比较法。（接近，用减，得数越大原数就越小。）

5、用倒数法。（倒数小的分数大。）

6、

7、一个单位分数拆分为几个不同的单位分数：

将一个单位分数的分子与分母扩大一定倍数，使得分子可以化为几个整数的和，且这些整数为分母的因数即可。 

8、将一个真分数化为几个不同的单位分数之和：

一个真分数的分子和分母扩大一定倍数后，若能将它的分子拆成几个整数的和，（或直接将分子拆分）且这些整数为分母的因数，则可将这个真分数拆成几个不同的单位分数之和。

✿例题精讲：

例1、比较、、的大小。

     发现的规律特点是：

练习1、 将、、按从大到小的顺序排列出来。

例2、比较、的大小。

      发现的规律特点是：

练习2、比较、大小

例3、用“>”号将下列分数连接起来。

        、、、

练习3、 将下列分数用“<”号连接起来。

        、、、

✿针对练习：

1、如果A＝，B＝，谁比较大？

2、运用倒数法比较、、的大小。

3、比较和的大小：

4、将下列各数从小到大排列    应为：               

5、把，，从小到大排列：

6、比较和的大小：

7、比较和的大小：

第九讲  小数与分数的互化     

✿知识精要：

﹙1﹚分数化小数

直接用分子除以分母，除不尽时，可以化为循环小数，或者根据需要用四舍五入法

取近似值。

（2）小数化分数

有限小数化为分数：如， 

纯循环小数化为分数：分子是一个循环节的数字组成；分母的各位数字都是9，9的个数与循环节的数字个数相同。如 ，    

混循环小数化为分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末端的数字组成的数减去不循环数字所组成的数是差；分母的前几位数字是9，末几位的数字是0，9的个数与循环节中的数字个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。

如：， 

由以上可知，任何一个循环小数都可以化为分数。

✿复习巩固:  

1、将，，，这些分数化成小数。

2、将分数化成小数。

3、将分数化成小数。

4、将0.375、5.05、2.36、0.25这些小数化成分数。

✿例题精讲:

例1、将和1.化成分数。

例2、将0.2和0.1化成分数。

例3、计算：0.1+0.1

例4、简便计算：

（1）++++                     （2）

✿针对练习：

1、指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？

2、将和化成小数，观察一下它们的循环节中的数字有什么特点？

3、有八个数，0.，，，0.5，，是其中的六个.如果按从小到大的顺序排列，第四个数是0.5，那么从大到小排列时，第四个数是多少？

4、计算：0. +0. +0. +0. 

5、简便计算：

（1）                     （2）

6、将循环小数0.，0.，1..化成分数。

7、将循环小数0.3,0.34，4.17，2.0.化成分数。

8、把化成小数后，小数点后面第50位上的数字是几？

9、计算下面各题：

（1）2.                                   （2）2.60

10、简便计算：

（1）++++++ + 

（2）

11、把化成小数后，求小数点后面1997位各位上的数字和是多少？