2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是

 【答案】C

【解析】：由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．

 2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数

A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b

B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b

C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b

D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b

【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.

【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．

3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx 则     （    ）

A．x=为f(x)的极大值点                   B．x=为f(x)的极小值点

C．x=2为 f(x)的极大值点                   D．x=2为 f(x)的极小值点

【答案】D.

【解析】，令，则．

        当时，；

        当时，．

        即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的．

        所以是的极小值点．故选D．

4.【2012高考辽宁文8】函数y=x2㏑x的单调递减区间为

（A）（1,1]          （B）（0,1]   （C.）[1，+∞）      （D）（0，+∞）

【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

【解析】故选B

5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：

    ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.

其中正确结论的序号是

   A.①③     B.①④     C.②③    D.②④

【答案】C．

考点：导数。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。

解答：，

          导数和函数图像如下：

由图，

，

且，

所以。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4， 2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为

(A) 1          (B) 3           (C) 4          (D) 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________

【答案】 

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.

【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.

8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为          

【答案】。

【解析】根据题意，得到，

从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

9【2102高考北京文18】（本小题共13分）

已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；

当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点，比较重要。

解：（1），.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，．即且．解得

（2）记

当时，，

令，解得：，；

与在上的情况如下：

当时，函数在区间上的最大值为；

当时，函数在区间上的最大值小于28.

因此，的取值范围是

10.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

【答案】解：（1）由，得。

                ∵1和是函数的两个极值点，

                ∴，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵当时，；当时，，

                ∴是的极值点。

                ∵当或时，，∴不是的极值点。

                ∴的极值点是－2。

（3）令，则。

 先讨论关于的方程根的情况： 

当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时， ，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵，，的图象不间断，

∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

       （3）比较复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）

已知函数，x其中a>0.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。

【解析】(Ⅰ) 

             或，

       得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为

(Ⅱ) 函数在内单调递增，在内单调递减

     原命题（lfxlby）

（III）当时，

在上单调递增,在上单调递减

当

当

得：函数在区间上的最小值为

12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设，集合，，.

（1）求集合（用区间表示）

（2）求函数在内的极值点.

【解析】（1）令，

。

① 当时，，

方程的两个根分别为，，

所以的解集为。

因为，所以。

② 当时，，则恒成立，所以，

综上所述，当时， ；

当时， 。

（2），

    令，得或。

① 当时，由（1）知，

因为，，

所以，

所以随的变化情况如下表：

② 当时，由（1）知，

所以随的变化情况如下表：

综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；

当时，有一个极大值点，一个极小值点。

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）

已知函数且在上的最大值为，

（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

考点：导数，函数与方程。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。

解答：

（I）在上恒成立，且能取到等号

     在上恒成立，且能取到等号

     在上单调递增

     （lfxlby）

（II）

     ①当时，在上单调递增

       在上有唯一零点

    ②当时，当上单调递减

       存在唯一使

       得：在上单调递增，上单调递减

       得：时，，

时，，在上有唯一零点

      由①②得：函数在内有两个零点。

14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与

的大小，并说明理由。

命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对

则抛物线在点A处的切线方程为：

  ………………4分

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分

（3）由（1）知f(k)=

下面证明：

首先证明0设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0当时,g'(x)<0;   当

故g（x）在区间（0，1）上的最小值

所以，当00,即得

由0 

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）

已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1【答案】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知， 

令则

令，则.

当时，单调递减；当时，单调递增.

故当，即

从而，又

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

使即成立.

【解析】

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f(x)= ex－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为

（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值． 

  【解析】（Ⅰ）因故  由于在点处取得极值

故有即，化简得解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知  ， 

令，得当时，故在上为增函数；

当时， 故在上为减函数

当时，故在上为增函数。

由此可知在处取得极大值， 在处取得极小值由题设条件知得此时，因此上的最小值为

18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）

设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.

（1）求a,b的值；

（2）求函数f(x)的最大值

（3）证明：f(x)<.

解：（Ⅰ）因为，由点在上，可得，即.    

因为，所以. 

又因为切线的斜率为，所以，即. 故，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

令，解得，即在上有唯一零点.    

在上，，故单调递增；

而在上，，单调递减.

故在上的最大值为.  

（Ⅲ）令，则.

在上，，故单调递减；

而在上，单调递增.

故在上的最小值为. 所以，

即.                                              

令，得，即，

所以，即.

由（Ⅱ）知，，故所证不等式成立.     

【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查.

19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）

设定义在（0，+）上的函数

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线方程为，求的值。

【解析】（）（方法一），

当且仅当时，的最小值为。

（）由题意得：，  

，   

由得：。

20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）

已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.

（1）求a的取值范围；

（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。

【解析】（1），，

                                 在上恒成立(*)

       (*)

（2）

①当时，在上单调递增

              得：

     ②当时，

       得：在上的最小值是中的最小值

           当时，

           当时，

      求最大值：当时，

                当时，

      得：当时，，  当时，

           时，，时，

21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)

设，证明：

   (Ⅰ)当x﹥1时， ﹤（）

   (Ⅱ)当时， 

【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

【解析】(Ⅰ)(法1)记=，

则当＞1时，=，

又∵，∴＜0，即＜；                 ……4分

（法2）由均值不等式，当＞1时，，∴，      ①

令，则，，∴，即， ②

由①②得，当＞1时，＜.                                 ……4分

(Ⅱ)（法1）记，由(Ⅰ)得，

==＜=，

令=，则当时，=

∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，

∴当1＜＜3时，.                         ……12分

（证法2）记=，则当当1＜＜3时，

=＜

=＜

=＜0.                                          ……10分

∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0，

∴当1＜＜3时，.                         ……12分

22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数

（1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.

【答案】

【解析】（1）由题意得，

当时，恒成立，此时的单调递增区间为.

当时，，此时函数的单调递增区间为.

(2)由于，当时，.

当时，.

设，则.

则有

当时，.

故.

23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。

 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。

解：（1）依题意可得

当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；

当即时，

有两个相异实根且

故由或，此时单调递增

由，此时此时单调递增递减

综上可知

当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。

（2）由题设知，为方程的两个根，故有

因此

同理

因此直线的方程为

设与轴的交点为，得

而

由题设知，点在曲线的上，故，解得或或

所以所求的值为或或。

【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。

24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)

已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.

 【答案】(I)，

由已知，，∴.

(II)由(I)知，.

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而.

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.

(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.

当时，＞1，且，∴.

设，，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值.

所以.

综上，对任意，.

25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分

设函数

（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；

（2）设n为偶数，，，求b+3c的最小值和最大值；

（3）设，若对任意，有，求的取值范围；

【解析】（Ⅰ）当

        ．

        又当，

          ．

       （Ⅱ）解法一：由题意，知即 

        由图像，知在点取到最小值-6，在点取到最大值0．

        ∴的最小值是-6，最大值是0．

        解法二：由题意，知，即；   ①

        ，即．   ②

        ①×2+②，得，

        当时，；当，．

        ∴的最小值是-6，最大值是0．

        解法三：由题意，知

        解得，．

        ∴．

        又∵，，∴．

        当时，；当，．

        ∴的最小值是-6，最大值是0．

       （2）当时，．

        对任意上的最大值

        与最小值之差,据此分类讨论如下：

       （ⅰ），．

       （ⅱ），

        ．

       （ⅲ），

        ．

        综上可知，．

        注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：

        用，当，

【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。