3.1.1 空间向量及其加减运算

【教学目标】

(1)理解空间向量的有关概念，掌握其表示方法；

(2)掌握空间向量的加法、减法运算及它们的运算律；

(3)能借助图形理解空间向量的加减运算及其运算律的意义；

(4)通过平面向量的有关概念到空间向量的转化，培养学生类比、归纳、数形结合的思维能力。

【教学重点】空间向量的有关概念及加减运算．

【教学难点】用图形说明空间向量加减运算及其运算律．

【学法指导】教师指导学生预习，小组讨论。

【教学过程】 

一、创设情境，引入新课：

联系已经学习过的平面向量的有关知识，要求学生说出生活中有哪些向量？指出：以前学习的向量是在同一平面的，但生活中还有很多不在同一平面的向量。展示图片，引出课题：

二、归纳概括，形成概念：

(一) 类比学过的平面向量知识，大家来尝试着归纳出空间向量的有关概念：

1.空间向量：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量。

2.向量的模：向量的大小。

3.空间向量的表示方法：

几何表示：用有向线段表示（如右图）；

代数表示：用字母 或 等表示；

4.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 。

5.单位向量：模为1的向量。

6.相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量。     

7.相等向量：方向相同且模相等的向量。

强调指出：在空间同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

我们由平面向量的概念类比归纳出了空间向量的有关概念，实现了知识的迁移，下面我们通过练习来巩固空间向量的概念。

 (二)空间任意两个向量都是共面的:

  以前我们学习的向量是只限于在同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移.

说明:已知空间中的任意两个向量 ,我们可以在任意平面 内,以任意点O为起点,做向量 ,所以空间中任意的两个向量可以转化为共面向量,并且因为点O是空间中任意一点,所以 确定的平面不是一个,而是一个互相平行的平面的集合,但研究解决问题时,一般只要在其中一个平面内考虑即可.

(三)空间向量的加减运算及运算律:

   平面向量能进行运算,因为有了运算而使平面向量得以广泛应用,与平面向量类比,空间向量也能进行运算,下面我们一起探究空间向量的加减运算.

1.复习平面向量加法的运算法则.

 加法:三角形法则或平行四边形法则

减法:三角形法则

加法交换律

加法结合律

指出:空间向量加法、减法运算的意义及运算律与平面向量类似，教学中结合图形加强直观说理，结合式与图之间的互相转换加深理解。

2.空间向量加法运算的交换律和结合律，可以让学生证明，视学生情况加以引导。

交换律： ，可类比平面向量加法的交换律进行证明。

结合律： ，可让学生结合右图加以证明：

空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

三、探究活动，深化认知

例1

例2空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：

例3 空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：

四．反馈练习：

课本P86 练习2、3

五、课堂小结

1.空间向量的有关概念及加减运算；

2.空间任意三个不共面的和可以与分别以这三个向量为边的四棱柱的对角线建立起联系。

3.类比、归纳及数形结合的数学思想的应用。

六、布置作业：

课本P96习题3.1   A组   1、2