广州中考数学易错题专题复习-圆的综合练习题

1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据

AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．

考点：切线的性质．

2．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．

（1）求证：∠ACE=∠DCE；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；

（3）若AC=4，

2

3

CDF

COE

S

S

∆

∆

=，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）43 3

【解析】

【分析】

（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以

∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；

（3）易证

1

2

COE

CAE

S

S

=，由于

2

3

CDF

COE

S

S

=，所以CDF

CAE

S

S=

1

3

，由圆周角定理可知

∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ．

∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°． ∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°． ∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°． （3）∵O 是AC 中点，∴

12

COE CAE

S S

=． 23CDF COE

S S

=

，∴CDF CAE

S S

=

1

3

． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°． ∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴

CF CA =33，∴CF =33CA =43

3

．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

3．如图，在直角坐标系中，已知点A (－8，0)，B (0，6)，点M 在线段AB 上。 （1）如图1，如果点M 是线段AB 的中点，且⊙M 的半径等于4，试判断直线OB 与⊙M 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M 与x 轴，y 轴都相切，切点分别为E ，F ，试求出点M 的坐标；

（3）如图3，⊙M 与x 轴，y 轴，线段AB 都相切，切点分别为E ，F ，G ，试求出点M 的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB 与⊙M 相切；（2）M （－247，24

7

）；（3）M （－2，2） 【解析】

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=3

4

x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代

入y=3

4

x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据

S△ABC=1

2

AO•ME+

1

2

BO•MF+

1

2

AB•MG=

1

2

AO•BO求得r=2，据此可得答案．

详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴

80

6

k b

b

-+=

⎧

⎨

=

⎩

，解

得：k=3

4

，b=6，即直线AB的函数关系式是y=

3

4

x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M

（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=3

4

x+6，得：﹣a=

3

4

a+6，得：a=﹣

24 7，∴点M的坐标为（﹣

2424

77

，）．

（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设

ME=MF=MG=r，则S△ABC=1

2

AO•ME+

1

2

BO•MF+

1

2

AB•MG=

1

2

AO•BO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB，

∴1

2r•8+

1

2

r•6+

1

2

r•10=

1

2

×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，

2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．

（1）求证：DA是⊙O切线；

（2）求证：△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=1

3

，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（22

【解析】

分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．

∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．

∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．

∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=1

3

，∴OD=

OA

sinD

=3，∴CD=OD﹣OC=2．

∵AD=22

OD OA

-=22．

又∵△CED∽△ACD，∴AD CD

CD DE

=，∴DE=

2

CD

AD

=2，

∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．

点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

5．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且

x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．

（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角

为；

（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】

分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；

（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形

的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22

（）=4，∴∠ABO=30°．

223

∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；

（2）如图2．

∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．

过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分两种情况：

①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．

∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，

∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；

综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．

6．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，tan∠ACD＝

3

3

，求FC的长．

【答案】（1）见解析

【解析】

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．

详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.

∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.

又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，

∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，

∴FC⊥OC，

∴FC是⊙O切线．

(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=

AE

43 tan ACE3

∠

==

设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，

即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.

∴OE＝r－4＝4＝AE.

∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.

在Rt△FOC中，

∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，

∴OF＝2OC＝16，

∴FC＝22

OF OC83

-=.

点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．

7．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；

（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．

试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB

=，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且

DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=8

4

=2，∵BF是⊙O的切

线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

8．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．

（1）当点H落在AC边上时，求t的值；

（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以

点C为圆心，1

2

t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．

【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210)

2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

⎧<≤

⎪

⎪

-+-<≤

⎨

⎪

-+<<

⎪⎩

；②100cm2．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；

（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；

②分两种情形分别列出方程即可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．

综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．

（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2

如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1

2

（5t﹣10）2=﹣

7

2

t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣1

2

（30﹣3t）2=﹣

7

2

t2+50t﹣50．

如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．

综上所述：S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210) 2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

⎧<≤

⎪

⎪

-+-<≤

⎨

⎪

-+<<

⎪⎩

．

②如图7中，当0＜t≤5时，1

2

t+3t=15，解得：t=

30

7

，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，

12

t +20﹣t =15，解得：t =10，此时S =100．

综上所述：当⊙C 与GH 所在的直线相切时，求此时S 的值为100cm 2

点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．

9．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．

【答案】（1）见解析；（2）14

π-

【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；

（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12

BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.

∵CM为直径，

∴∠MBC＝90°，即∠M+∠BCM＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴∠ACD＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD，

∴∠M＝∠BCP，

∴∠BCP+∠BCM＝90°，即∠PCM＝90°，

∴CM⊥PC，

∴PC与⊙O相切；

（2）连接OB，

∵AD是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AD，即∠PAD＝90°，

∵BC∥AD，∠AEB=∠PAD＝90°，∴AP⊥BC．∴BE＝CE＝1

2

BC＝1，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，

∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，

∵OB＝OC，AP⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，

∵∠PCM＝90°，∴∠CPO＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，

∴OE＝CE＝1，PC＝OC＝22

OE CE2

+=，

∴S＝S△POC－S扇形OFC＝

()2

45π2

1π221 23604

⨯

⨯⨯-=-．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.

10．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB2BC＝2，求⊙O的半径．6

【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O

【解析】

【分析】

（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；

（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程

222

-=，解此方程即可求得⊙O的半径．

x x

3)6)

【详解】

解：（1）直线CE与⊙O相切．…

理由：连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，

∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，

又∠DCE＝∠ACB，

∴∠DEC+∠DAC＝90°，

∵OE＝OA，

∴∠OEA＝∠DAC，

∴∠DEC+∠OEA＝90°，

∴∠OEC＝90°，

∴OE⊥EC，

∵OE为圆O半径，

∴直线CE与⊙O相切；…

（2）∵∠B＝∠D，∠DCE＝∠ACB，

∴△CDE∽△CBA，

∴BC AB

=，

DC DE

又CD＝AB2BC＝2，

∴DE＝1

根据勾股定理得EC3

又226

=+…

AC AB BC

设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，

解得

x =， ∴⊙O 的半径为

．

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．