历年高考数学真题-2005年高考理科数学(北京卷)试题及答案

本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分考试时阃120分钟考试结束，将本试卷和答题卡—并交回

第1卷(选择题 共40分)

注意事项：

1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上

一、本大题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项

(1)设全集U=R，集合M={x∣x>l}，P={x∣x2>l}，则下列关系中正确的是

(A)M=P          (B)        (C)        (D) 

(2)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的

(A)充分必要条件              (B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件          (D)既不充分也不必要条件

(3)若， =2．c=+，且ca，则向量与的夹角为

(A)300         (B)600           (C)1200        (D)1500

(4)从原点向圆=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为

    (A)       (B)2          (C)4        (D)6

(5)对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是

    (A)sin(+)>sin+sin    (B)sin(+)>cos+cos

    (C)cos (+)  (6)在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

    (A)BC∥平面PDF              (B)DF平面PAE

    (C)平面PDF平面ABC         (D)平面PAE平面ABC

  (7)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

    (A)               (B) 

    (C)                    (D)  

(8)函数

    (A)在[0，)，(，]上递增，在[，)，(，2]上递减

    (B)在[0，)，[，)上递增，在(，]，(，2]上递减

    (C)在(，]，(，2]上递增，在[0，)，[，)上递减

    (D)在[，)，(，2]上递增，在[0，)，(，]上递减

第Ⅱ卷(共110分)

注意事项：

  1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上

  2答卷前将密封线内的项目填写清楚

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上

(9)若zl=a+2i，z2=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为              

(10)已知tan=2，则tan的值为               ，tan(+)的值为     

(11)的展开式中的常数项是                    (用数字作答)

(12)过原点作曲线y=的切线，则切点的坐标为         ，切线的斜率为       

(13) 对于函数定义域中任意的()，有如下结论：

    ①；    ②；

    ③>0；           ④<

    当时，上述结论中正确结论的序号是               

(14) 已知n次多项式=

    如果在一种算法中，计算(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算的值共需要      次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法： =Pn+1()=Pn()+(k=0,    l，2，…，n-1)．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要              次运算

  三、解答题：本大题共6小题共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15 （本小题共13分）

    已知函数

  (I)求的单调递减区间；

  (Ⅱ)若在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值

(16)(本小题共14分)

如图,在直四棱柱中, ,

垂足为

(Ⅰ)求证;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的大小

(17)(本小题共13分)

   甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为

(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;

(Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;

(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率

(18)(本小题共14分)

如图,直线＞0)与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,其左半部分记为,右半部分记为

(Ⅰ)分别有不等式组表示和

(Ⅱ)若区域中的动点到的距离之积等于,求点的轨迹的方程;

(Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线相交于两点,且与分别交于两点.求证△的重心与△的重心重合

(19)(本小题共12分) 

设数列的首项,且,记

(Ⅰ)求

(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)求

20 （本小题共14分）

设是定义在[0，1]上的函数，若存在，使得在[0，]上单调递增，在[，1]单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间

对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法

（Ⅰ）证明：对任意的, ,若，则（0，）为含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的（0<<0.5），证明：存在,满足，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;

(Ⅲ)选取, 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

2005年高考理科数学北京卷试题及答案

参

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    （1） C  （2）B  （3）C  （4）B  （5）D （6）C （7）A  （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）     （10）－；－    （11）15      （12）(1, e)；e 

（13）②③      （14）n(n＋3)；2n

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    （15）（共13分）

解：（I）．

令<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

     所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．    

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

    即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

（16）（共14分）

（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，

∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影． 

   ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；

（）连结A1E，C1E，A1 C1．

   与（）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．

  ∵  AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，

    又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD，

    ∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2，

    在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，  ∴ ∠A1EC1＝90°，

    即二面角A1－BD－C1的大小为90°．

（）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，

则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． 

∵  AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1，  

∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝，

    在△BFC1 中，,∴ ∠C1BF=

即异面直线AD与BC1所成角的大小为．

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

连结

与(1)同理可证, , 

∴为二面角的平面角.

由

得

∴

∴即

∴二面角的大小为

（Ⅲ）如图,由,

得

∴

∴

∵异面直线与所成角的大小为

解法三：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.

与（Ⅰ）同理可证

∴为二面角的平面角

由

得

∵

∴即

∴二面角的大小为

（17）（共13分）

解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝，

    ξ的概率分布如下表：

Eξ＝, （或Eξ=3·=1.5）；

  （）乙至多击中目标2次的概率为1－=；

  （）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，

      B1，B2为互斥事件

  所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

（18）（共14分）

解：（I）W1={(x, y)| kx0}，

    （）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得

    , 即，

    由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，

    所以，即,

    所以动点P的轨迹C的方程为；

  （）当直线与x轴垂直时，可设直线的方程为x＝a（a≠0）．由于直线，曲线C关于x轴对称，且1与2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，

    当直线1与x轴不垂直时，设直线的方程为y=mx+n（n≠0）

    由，得

    由直线与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且

△=>0

设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，

则, , 

设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， 

由得

从而，

所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,

    于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．

（19）（共12分）

解：（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；

（）∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,

所以b1=a1－=a－, b2=a3－= (a－), b3=a5－= (a－),

猜想：{bn}是公比为的等比数列·

    证明如下：

    因为bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn, (n∈N*)

    所以{bn}是首项为a－, 公比为的等比数列

    （）.

（20）（共14分）

（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

    当f(x1)≥f(x2)时，假设x* (0, x2)，则x1f(x1)，

    这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间

    当f(x1)≤f(x2)时，假设x* ( x2, 1)，则x*<≤x1f(x2)，

    这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间

（）证明：由（I）的结论可知：

    当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；

    当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；

    对于上述两种情况，由题意得

                          ①

    由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r

    又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r,     ②

    将②代入①得

    x1≤0.5－r, x2≥0.5－r，               ③

    由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r

    所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r

（）解：对先选择的x1；x2，x1    x1＋x2＝l，                             ④ 

    在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下，x3的取值应满足

    x3＋x1＝x2，                            

    由④与⑤可得,

    当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．

    由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34

    因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32