2011届高考数学第一轮考点复习测试题32

江苏　　李洪洋

直线系方程以其特殊的形式和灵活的方法，为解题提供了很多方便．下面谈谈利用直线系特有的方法与技巧解决直线恒过定点的问题．

例1求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．

分析：（1）因为不论取何值时，直线均通过一定点，所以可以通过对取不同的两个值，先找到一个定点，然后证明此定点在直线上；

（2）可利用过两条直线，的交点的直线系方程：（除外）；

（3）也可将思维迁移到利用关于的一元一次方程的解的问题上，若的解，则．

证法一：取时，得到直线，

取时，得到直线，

故与的交点为．

将点代入直线．

故点在直线上．

所以直线恒过一定点．

证法二：由，

整理，得，

则直线通过直线与的交点．

由方程组

解得

故直线恒过一定点．

证法三：，

，

因为为任意实数，故关于的一元一次方程的解集为．

由不得，解得，．

所以直线恒过一定点．

评注：本题由于思考的角度不同，解法也就不同，平时做练习时，要注意对问题进行多角度、多侧面的观察与思考，因为这种思索会加深我们对问题的认识，并且能开阔视野，这对于提高我们分析和解决问题的能力是大有好处的．

例2  若，且不同时为0，求证：直线必经过一个定点．

证明：因为，且不同时为0，

故可设，则有．

将其代入直线方程，得．

此方程可视为过直线与的交点的直线系方程．

解方程组得

即两直线交点为，

故直线过定点．