浙江省名校协作体2021届高三下学期联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）

A． ． ． ．

2．过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（  ）

A． ．1 ． ．

3．设、满足约束条件，则的最大值为（ ）

A． ． ． ．

4．已知平面，l，m是两条不同的直线，且，则正确的选项是（ ）

A．若，则 ．若，则

C．若，则 ．若，则

5．设函数，则函数的图像可能为（ ）

A． ．

C． ．

6．将函数的图象向右平移个长度单位所得图象的对应函数为，则“”是“为偶函数”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

7．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）

A．， ．，

C．， ．，

8．过双曲线C：的左焦点F作x轴的垂线交双曲线于点A，双曲线C上存在点B（异于点A），使得.若，则双曲线的离心率为（ ）

A． ． ． ．

9．设函数满足，且当时，，当时，，又函数，函数在上的零点个数为（ ）

A．4 ．5 ．6 ．7

10．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）

A． ． ． ．

二、双空题

11．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积________；表面积是________.

12．年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则________；________.

13．二项展开式，则________；________.

14．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互的，记X为该毕业生得到面试的公司个数，若，________；若，则随机变量X的期望________.

三、填空题

15．有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法.

16．设实数a，b满足，，则的最大值是________.

17．不共线向量，满足.若对于给定的实数，存在唯一的点P，满足（）且，则的最小值是________.

四、解答题

18．已知角，（，）的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.

（Ⅰ）设函数，，求的最大值；

（Ⅱ）若点C在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.

19．已知四边形，，，将沿翻折至.

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.

20．已知数列满足：，.

（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）

21．已知椭圆：和抛物线：，点Q为第一象限中抛物线上的动点，过Q作抛物线的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线的焦点.

（Ⅰ）求证：平分；

（Ⅱ）若直线l与椭圆相切于点P，求面积的最小值及此时p的值.

22．已知函数，定义域为.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）记，当，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在，，使得.若存在，求c的取值范围；若不存在，请说明理由.

参

1．B

【解析】

,,则,故选B.

考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.

2．C

【分析】

由直线的点斜式方程可得直线的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离,结合勾股定理，即可得结论.

【详解】

根据题意，设过点且倾斜角为的直线为 ,

其方程为,即,变形可得，

圆 的圆心为，半径 ,

设直线与圆交于点,

圆心到直线的距离,

则，故选C.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线的点斜式方程，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.

3．D

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，令，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

令，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

4．D

【分析】

根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.

【详解】

若，，才有，故A错误

一条直线垂直于平面内两条相交的直线，才垂直于这个平面，故B错误

若，推不出，故C错误

若，则，故D正确

故选：D

5．B

【分析】

判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．

【详解】

解：由得，得，即函数的定义域为，

则，即函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，，

，排除，

故选：．

6．A

【分析】

本题首先可以通过题意推导出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．

【详解】

因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，

所以，

因为为偶函数，

所以，即，当时 

因为可以推导出函数为偶函数而函数为偶函数不能推导出，

所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】

由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．

7．A

【分析】

由题设构造，依据的单调性、奇偶性即可知大小关系，且，进而可求，即可确定正确选项.

【详解】

令，知：在定义域内为递增函数，

∴由题意知：，即，

又知：关于原点对称，

∴，而.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：通过题设构造，应用函数的单调性、奇偶性比较项的大小，以及求出前n项和.

8．C

【分析】

根据条件可确定点B的坐标，代入双曲线方程化简即可求出离心率.

【详解】

因为双曲线C：的左焦点F，

所以将代入双曲线方程时，可得，

不妨设，根据，，

可知三角形为等腰，

所以，

代入双曲线方程可得，，

化简得，

即，

可得，

即，

解得或（舍去）

故选：C

【点睛】

关键点点睛：根据题意可知点B到直角三角形斜边的距离等于斜边长的一半，且点的纵坐标为为，即可求出，代入双曲线方程后化简是解题的关键.

9．D

【分析】

根据题意，可得为偶函数，根据，解析式，结合题意，可得时的解析式，在同一坐标系中画出的图象，求函数在上的零点个数即求的图象的交点个数，结合图象，检验，即可得答案.

【详解】

因为函数满足，

所以为偶函数，图象关于y轴对称，

因为时，，且当时，，

所以当时，，所以，

当时，，所以，

又，所以，

所以为偶函数，图象关于y轴对称，

令，得，

所以求函数在上的零点个数，即求图象与图象在上交点的个数，

在同一坐标系中画出图象与图象，如下图所示，

又，，

所以函数在上的零点个数为7.

故选：D

【点睛】

解题的关键是根据题意，求得时的解析式，将函数零点问题，转化为求图象交点的问题，易错点为，时，需代入方程检验，也为零点，考查数形结合的能力，属中档题.

10．D

【分析】

根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点在平面上的射影求解.

【详解】

过A作于M，G，N，如图，

.

与所成角即为.

在平面.

在平面，

.

.

在平面上的射影，

.

.

故选：D

【点睛】

是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小.

11． 

【分析】

根据三视图还原出直观图，根据题中数据，代入公式，即可求得其体积，根据为等边三角形，求得BC的长，代入表面积公式，即可求得答案.

【详解】

由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，直观图如图所示:

，

，且为等边三角形，

.

故答案为：；

12． 

【分析】

根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出的值，由已知条件得出，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得的值.

【详解】

，，

因此，.

故答案为：；.

13． 

【分析】

本题可通过令求出的值，然后通过令得出，通过令得出，最后两式相减，即可得出结果.

【详解】

由题意可知，，

令，则，即，

令，则①，

令，则②，

①②可得：，即，

故答案为：，.

14． 

【分析】

根据事件的概率公式知，结合已知即可求p的值，写出时随机变量X分布列，根据随机变量X的分布列，求期望.

【详解】

由题意知：且，解得，

若时，随机变量X分布列，如下：

故答案为：，.

【点睛】

关键点点睛：应用事件的概率公式求参数，以及利用随机变量分布列求期望.

15．480

【分析】

先排甲、乙、丙、丁4人就坐，根据甲、乙两人都在丙的同侧，由丙四个位置讨论排法，再根据有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余两个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，然后利用分步计数原理求解.

【详解】

先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1，2，3，4号位置，

因为甲、乙两人都在丙的同侧，

种排法，

种排法，共有16种排法；

又因为有且仅有两个空位相邻，

种排法，

种排法，

故答案为：480

【分析】

根据的式子，利用均值不等式求解.

【详解】

, 

,

时等号成立，

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

17．4

【分析】

结合基本不等式求得联立方程组结合基本不等式即可求解.

【详解】

（其中为向量，，所以消去时等号成立.

时等号成立.

故答案为：4

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

.

【分析】

（Ⅰ）由终边上的点求出三角函数，求出，根据正弦函数的值域求函数的最值即可；

（Ⅱ）由过点后利用正弦或余弦定理求解即可.

【详解】

（Ⅰ）由过点，

.

.

（Ⅱ）由过点知

，

.

，

，

.

，

，

，

.

【点睛】

关键点点睛：利用角的终边上的点，根据三角函数的定义求出，是解题的关键，再由正弦定理或余弦定理求解，属于中档题.

.

【分析】

推出；

（Ⅱ）作出二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦.

【详解】

因为，

，

，则.

（Ⅱ）取， 

因为，

又因为O为，

为二面角的平面角.

分别为x，y，z轴建空间直角坐标系如图：

设面，

，所以，

所以面，

设与面所成的角为.

；（Ⅱ）45.

【分析】

即可；

的整数部分与小数部分进行分析.

【详解】

∵

为首项，3为公比的等比数列

.

.

，

.

.

，

时，

.

.

所以使成立的最大正整数n的值为45.

【点睛】

是解决问题的关键.

.

【分析】

，即可得到Q的横坐标，B的横坐标，则的中点，即可得证；

.利用二次函数的性质求出面积的最大值；

【详解】

，

.

l与抛物线.

.

，

所以的中点.

.

所以平分.

（Ⅱ）l与椭圆.

.

.

.

.

所以 

.

时取等号）

所以.

【点睛】

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．（Ⅰ）

【分析】

（Ⅰ）将代入，利用导数与函数单调性的关系即可求得的单调区间；

，表示出即可；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，假设存在进行讨论即可求解.

【详解】

解:（Ⅰ）解：当时，

∵，

，

，

，

在区间，

，

，

上单调递增；

（Ⅱ）∵，

，

，

，

，

在上单调递增，

，

故对每个，

，

上单调递增；

处取到，

，

，

，

，

，

上单调递减；

，此时；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

， 

，

当时不等号左边0，

.

设存在成立，

，

，

，

单调递增，

单调递减，

单调递增，

成立；

，

；

单调递减，

单调递减，

，故不符合题意.

.

【点睛】

方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.