2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第3讲函数的奇偶性与周期性学案!

最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知 识 梳 理

1.函数的奇偶性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　)

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(　　)

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　)　解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.

(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是(　　)

A.y＝          B.y＝ex

C.y＝cos x          D.y＝ex－e－x

解析　A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.

D中函数定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数.

答案　D

3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A.－      B.      C.      D.－

解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.

答案　B

4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.

解析　∵f(x)的周期为2，∴f＝f，

又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，

∴f＝f＝－4×＋2＝1.

答案　1

5.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).

又f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.

答案　3

6.(2017·湖州调研)设a>0且a≠1，函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，g(f(2))＝________.

解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(2－x＋1－2)＝2－2－x＋1，即g(x)＝2－2－x＋1，∴f(x)＝f(2)＝2－2－2＋1＝2－＝>0，

∴g(f(2))＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.

答案　2　2－

考点一　函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－， }，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.

∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.

【训练1】 (1)(2017·杭州质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A.y＝x＋sin 2x         B.y＝x2－cos x

C.y＝2x＋          D.y＝x2＋sin x

(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数      B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数      D.|f(x)g(x)|是奇函数

解析　(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.

(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；

|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.

答案　(1)D　(2)C

考点二　函数奇偶性的应用

【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)

A.－3      B.－1      C.1      D.3

(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

解析　(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.

(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，

所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，

则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.

答案　(1)C　(2)1

规律方法　(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.

(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.

【训练2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)

A.(－∞，－1)          B.(－1，0)

C.(0，1)          D.(1，＋∞)

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.

解析　(1)易知f(－x)＝＝，

由f(－x)＝－f(x)，得＝－，

即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，

f(x)＝，由f(x)>3，得0(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

则f(x)＝－x2－4x(x<0)，

∴f(x)＝

答案　(1)C　(2) 

考点三　函数的周期性及其应用

【例3】 (2016·四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，

又f(x)在R上的周期为2，

∴f(2)＝f(0)＝0.

又f＝f＝－f＝－4＝－2，

∴f＋f(2)＝－2.

答案　－2

规律方法　(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.

【训练3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.

解析　f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x).

故函数的周期为4.

∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).

∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.

∴f(105.5)＝2.5.

答案　2.5

考点四　函数性质的综合运用

【例4】 (1)(2016·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝(　　)

A.－2      B.－1      C.0      D.2

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)

A.[1，2]          B. 

C.          D.(0，2]

解析　(1)当x>时，由f(x＋)＝f(x－)，

得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，

又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.

因此f(6)＝－f(－1)＝2.

(2)由y＝f(x)为偶函数，且f(log2a)＋f(loga)≤2f(1).

∴f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，

又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上递增，

∴|log2a|≤1⇔－1≤log2a≤1.解得≤a≤2.

答案　(1)D　(2)C

规律方法　(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.

(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【训练4】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)

A.－1      B.1      C.0      D.2

(2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.

则M＋m＝________.

解析　(1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，

又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，

∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.

∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.

(2)f(x)＝＝1＋，

令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

故M＋m＝2.

答案　(1)C　(2)2

[思想方法]

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.

3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.

[易错防范]

1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.