基于经典层合板理论的简支梁力学分析

陈玲俐;赵晓昱

【摘 要】与传统的金属材料相比,复合材料具有比强度高、比模量大,耐疲劳性、耐腐蚀性好,且热性能和电性能良好等优点.本文选择复合材料对简支梁进行铺层设计,首先从简支梁的受力分析入手,根据复合材料力学的经典层合板理论和弹性力学的基本方程,建立简支梁的数学模型;然后对简支梁进行结构设计,确定简支梁的铺层角度与铺层数目,构建复合材料结构,对复合材料简支梁进行静力学分析;最后利用蔡吴张量准则进行强度校核.

【期刊名称】《力学与实践》

【年(卷),期】2019(041)002

【总页数】5页(P152-156)

【关键词】复合材料;简支梁;数学模型;静力学分析;强度比

【作 者】陈玲俐;赵晓昱

【作者单位】上海工程技术大学机械与汽车工程学院,上海 201600;上海工程技术大学,上海 201600

【正文语种】中 文

【中图分类】O342

复合材料具有高模量、高强度、轻量化等优点，已经广泛应用于航空航天、军事、汽车等工业领域。为了提高复合材料的结构性能，许多研究学者也在复合材料结构优化方面给予了较多的关注。Kazemi等[1]提出了弯曲刚度和弹性模量约束的优化，设计了最大弯曲刚度和层压板有效弹性模量，通过层合板的最优取向，使层合板具有最大的屈曲强度。Shimoda等[2]提出自由形状的优化方法，从理论上解决了形状梯度函数中柔度最小化问题，并在无形状参数的情况下，确定了可以显著降低由不同材料组成的复合结构的柔度的最佳界面和表面形状。Ruoshui等[3]将非均质的蜂窝材料做成均匀正交各向异性体进行建模，并通过研究细胞壁厚度和弹性模量对结构整体力学响应的影响，实现了复合材料性能的优化。

针对复合材料组合梁的设计优化，Nguyen等[4]基于高阶剪切变形梁理论，提出了一种新的复合材料层压梁在热载荷作用下的屈曲和振动混合形状函数，分析了梁的跨高比、边界条件、材料各向异性和温度变化对组合梁屈曲载荷和固有频率的影响。Zappino等[5]通过对复杂结构的任意组件进行单独建模，利用精细的梁模型精确地评估复杂的应力场，从而对复合材料增强结构进行了应力分析。

本文针对碳纤维环氧复合材料简支梁，基于复合材料力学的经典层合板理论和弹性力学的基本方程，建立复合材料梁挠度的数学模型，然后以简支梁的挠度为优化目标，铺层角度和铺层数目为优化变量，对层合板简支梁进行结构优化设计确定铺层角度和铺层变量，使简支梁的挠度变形控制在0.4mm左右，并对复合材料梁进行静力学分析，最后利用蔡吴张量准则进行强度比校核。

1 建立层合板简支梁的数学模型

如图1所示的简支梁，设长度为2l，深度为h，忽略体力，受单位宽度上的均布载荷q。

对于该简支梁，运用经典层合板理论[6]，有如下3个假定(取xy平面为层合板的中面)：

图1简支梁

(1)在位于中面的任意一根法线上，层合板全厚度内所有的点的位移量相等，即垂直中面方向的正应变为，则

其中w是关于x和y的二元函数表示沿板厚范围内z方向的位移；

(2)因为层合板是薄板，厚度不发生变化，所以各单层的应力可以按照平面应力状态来分析，忽略z方向上的应力不计，即

(3)由于层合板的变形属于小挠度变形，因此可以忽略垂直于中面的平面的剪应变，则有

根据上述3个假设，设关于x和y的应力函数φ，且φ(x,y)存在应力分量σx和σy、τxy，即

根据弹性力学理论，从静力学方面考虑简支梁的平面问题，得到如下关系式

(1)平衡方程

(2)几何方程

式中u和v分别表示沿板厚范围内x和y方向的位移。

(3)物理方程

式中S11,S12,S16,S22,S26,S66是简支梁的柔度系数。

消去式(6)中的位移分量u和v，得到相容方程

由式(7)和式(8)可推导出下列关系式

挤压应力σy是由均布载荷q直接引起的，由图1可知载荷q是作用在y方向上的，不随x的变化而变化，所以结合半逆解法[7]可以假设只是关于y的函数，与x无关

将上式带入式(4)并进行x的二重积分，得

考虑到图1中简支梁的长度远远大于它的宽度，所以梁的上下两个边界是我们要考虑的主要边界，且边界条件必须得到完全满足。又由于简支梁的对称性，左右两边的边界条件只须考虑一边就能保证两边的边界条件同时满足，所以对简支梁的边界条件设定如下

由式(1)∼式(12)，我们可以得到简支梁的挠度方程

2 层合板简支梁的结构设计与力学分析

2.1 几何尺寸和材料参数

不同于金属材料的各向同性，复合材料作为各向异性材料在各个方向的性能也有所不同。而相比于其他纤维，碳纤维由于良好的比强度和比模量在近几年有了广泛的应用。但是因为碳纤维的脆性和抗氧化性能差，所以通常作为树脂的增强体使用[8]。本文针对层合板的结构优化选用碳纤维环氧复合材料T300/5222，其工程弹性常数如表1所示选取单层板的长度为1224 mm，宽度为132 mm，厚度为0.125 mm，单位宽度上的均布载荷q为0.496 N/mm。

表1T300/5222工程弹性常数E1/GPa E2/GPa G/GPa vf ν1 135 9.4 5.0 0.65 0.28

2.2 确定铺层方案

由式(13)可以看出，简支梁的挠度除了与梁本身的尺寸、受力载荷有关，还和层合板的柔度矩阵S有关[9]，柔度矩阵为

式中为面内刚度矩阵；B为耦合刚度矩阵；D为弯曲刚度矩阵。

根据上述关系式可知柔度矩阵又和面内刚度、耦合刚度、弯曲刚度有关。在弯曲问题中，耦合刚度的存在会使层合板的挠度增大，对层合板的弯曲造成较大的影响[10]。而耦合的程度与层合板的复合材料、铺层方式以及约束条件有关，在材料已经选定、约束条件已经确定的前提下，为了避免耦合刚度的影响，只有采用对称铺层使得B=0来消除耦合刚度[11]。由于简支梁主要受面内力，所以不存在刚度矩阵D。因此本文设计的层合板是由材料相同、厚度相等的单层板对称铺设而成，以层合板梁的挠度为优化目标，铺层顺序参数[12]为设计变量，得出如图2所示的挠度与铺层顺序参数的关系。

从图2可知，当铺层数目一定时，层合板的挠度随着铺层角度的增加而增大；当铺层角度一定时，挠度随着铺层数的增加反而减小。在满足层合板梁挠度要求的同时，又要避免不必要的浪费，所以铺层数要尽可能少，同时要求铺层角也不能过大。综合以上考虑因素，确定采用θ=9◦的斜交对称铺层方式，共铺设16层，层合板总厚度为2 mm，对简支梁进行优化设计。

图2挠度与铺层角、铺层数的变化关系

最后计算得出层合板挠度等于0.3505 mm，满足设计要求。

2.3 层合板应力分析

根据方程(4)和(11)可以得出应力方程

设x和y为变量，应力随x和y的变化如图3所示。

图3应力随x和y的变化关系

由图3可知，σx作用在x方向上，最大应力分布在板梁的上下两端，随着x的增大先增大后减小，并且在x=0mm时，σx=32.7341MPa取得最大值；σy作用在y方向上，最大应力分布在简支梁的下表面，不随x的变化而变化，最大值为σy=0.49MPa；剪应力τxy的最大值分布在板梁固定两端的中心位置，随着y先增大后减小，并在x=0mm时，τxy=3.45MPa取得最大值。

3 层合板简支梁的强度比校核

强度比R是指各单层在施加应力的情况下，极限应力的某一分量与它相对应的施加的应力分量之比，当R>1时，施加的应力或应变属于安全值。在各方向的应力满足要求的前提下，引入强度比的概念，利用蔡吴张量多项式准则判断各个单层在平面应力状态下是否失效。蔡吴张量多项式准则

其中，F11,F12,F22,F66,F1,F2是强度参数值，如表2所示。

表2T300/5222的强度参数值F11/(GPa)−2 F22/(GPa)−2 F12/(GPa)−2 F66/(GPa)−2 F1/(GPa)−2 F2/(GPa)−2 0.555 124.7 −4.16 117.4 −0.155 19.49

本文研究的复合材料简支梁结构如图1所示，均布载荷沿着y方向作用在xz平面上，所以各单层的应力与应变是相等的，分别为层合板的应力与应变。利用式(19)的正轴应力与偏轴应力的转换关系，已知偏轴应力计算得出正轴应力代入强度比方程，结果表明：强度比R=34.0013>1满足强度比要求。

4 结语

(1)本文根据复合材料力学的经典层合板理论，并结合弹性力学的基本方程，建立复合材料简支梁的力学模型。对复合材料简支梁进行铺层优化得到简支梁的挠度和应力应变的数值解，比直接有限元分析得到的近似解更准确。

(2)对层合板简支梁进行强度比校核，结果证实了该数值解法的可行性。

参考文献

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