3三角恒等变换-拔高难度-习题(含答案)

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 如图所示，正方形 的边长为，延长 至，使，连接，则  

2. 在 中，已知，则 的值为 

     或 

3. 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图  所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则图  中菱形的一个锐角的正弦值为 

4. 在 中， 是方程  的两根，则  

5. 计算：  

6. 在边长为  的正方形 中，已知 为线段 的中点， 为线段 上的一点，若线段，则 

7. 若，且，则  的值为 

8. 设，且，记，则 的最小值为 

9. 在 中，角， 所对的边分别为，，若 边上的高为，则  最大值是 

10. 已知，则  

11. 式子 满足，则称 为轮换对称式．给出如下三个式子：①；②；③（， 是 的内角）．其中，为轮换对称式的个数是 

12. 已知函数 的图象与直线 相交，若在 轴右侧的交点自左向右依次记为，，则  等于 

二、填空题（共5小题；共25分）

13. 已知，且，

 （）若，则                 ；

 （）的最大值为                ．

14. 已知 为锐角，且，则                 ．

15. 若函数 的最大值为，则                  ．

16. 已知， 是函数 在  内的两个零点，则                  ．

17. 如图，在同一个平面内，向量， 的模分别为，， 与  的夹角为，且， 与  的夹角为．若，则                 ．

三、解答题（共5小题；共65分）

18. ，，求 的值．

19. 已知函数，将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位，得到函数 的图象．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的  倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．

（1）求 的值；

（2）若函数 的图象关于原点对称，求 的最小值；

（3）设 的三个内角， 所对边分别为，，且，求当 时，函数 在 上的取值范围．

20. 已知 中，外接圆半径为．

（1）求；

（2）求 面积的最大值．

21. 在 中，内角， 的对边分别为，．已知，且， 成等比数列．

（1）求 的值；

（2）求角 的大小；

（3）求 的值．

22. 已知动圆 过定点，且与直线 相切；椭圆 的对称轴为坐标轴，中心为坐标原点， 是其一个焦点，且点  在椭圆 上．

（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程和椭圆 的方程．

（2）过点  作直线 交轨迹 于， 两点，连接，射线， 交椭圆 于， 两点，求 面积的最大值．

（3）过椭圆 上一动点 作圆  的两条切线，切点分别为 、，求  的取值范围．

答案

第一部分

1.  B

2.  A

3.  A

4.  A 【解析】由， 是方程  的两根，

可得，，

所以．

因为，

所以，

所以．

5.  A

【解析】

6.  C 【解析】设，则，因为，解得，所以，又因为，所以 .

7.  D

8.  B 【解析】设，，

，

由题意可知， 不平行，

设  与  的夹角为，

则，

那么以  和  为边长的三角形的面积为

所以，

所以 

记，

则，

所以，

所以，

解得，

所以．

9.  C

10.  B

11.  C 【解析】根据①，可得，，

所以，故①是轮换对称式．

②根据函数，

则， 故不是轮换对称式．

③由

同理可得，，

所以，故③是轮换对称式．

12.  A 【解析】，

令，得  或，，

所以 或，，

因为 与直线 在 轴右侧的交点自左向右依次为，，，

所以，，，，

所以，

所以．

第二部分

13.  ，

14.  

15.  

【解析】 

因为函数 的最大值为，

所以，可得．

16.  

【解析】， 是函数 在  内的两个零点，可得，

即为，

即有，

由，可得，可得，由，

可得，

由，

即有．

17.  

第三部分

18.  由，得，，

又，，

 所以，，

 所以 ．

19. （1） 因为，

所以．

函数 的周期为．

因为 

所以．

      （2）．

因为函数 的图象关于原点对称，

所以，即，

所以，．

因为，

所以．

      （3） 因为，由余弦定理可变形为

由正弦定理：

因为，

所以，

因为，

所以．

当 时，．

因为，

所以，则．

因为，

所以．

20. （1） 由 得．

又因为，

所以．

所以．

所以．

又因为，

所以．

      （2） 

所以当，即 时，．

21. （1） 因为，

所以．

由，

得，

展开，整理得．

      （2） 因为， 成等比数列，

所以，

由正弦定理得，

所以．

因为，

所以，

又因为边 不是最大边，

所以．

      （3） 因为，

所以，，

所以，

所以

22. （1） 因为动圆 过定点，且与直线 相切，

所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点、以直线 为准线的抛物线，

从而动圆圆心 的轨迹 的方程为．

设椭圆的方程为，

由题意，得，则，

所以椭圆 的方程为．

      （2） 设直线 的方程为．

，得．

设，则，

从而．

所以，即 

设 的方程为，

由，得，

解得，

所以．

同理可得．

所以．

令，，

所以当，即 时，．

      （3） 设，动点 到圆心  的距离为，则．

令，则，

根据对勾函数的性质，得，即．

因此，．