第九章第8课时知能演练轻松闯关

1．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．

解：设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”．由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.

(1)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)

＝××(1－)＝.

(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”．

法一：P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)

＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)

＝(1－)＋×(1－)＋××(1－)＝.

法二：P(C)＝1－P(A1A2A3)

＝1－××＝.

2．(2010·高考江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互．

(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列为：

由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥，

又n∈N，得n＝3或n＝4.

所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.8192.

故所求概率为0.8192.

一、选择题

1．已知A，B是两个相互事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，那么1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)

A．事件A，B同时发生

B．事件A，B至少有一个发生

C．事件A，B至多有一个发生

D．事件A，B都不发生

解析：选C.因为A，B相互，故P(A)P(B)＝P(AB)，而事件AB的对立事件即为事件A，B至多有一个发生．

2．(2012·荆州质检)已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 

解析：选D.P(X＝2)＝C ()2(1－)4＝.

3．(2011·高考辽宁卷)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A.       B.      C.      D. 

解析：选B.P(A)＝＝，P(AB)＝＝，

P(B|A)＝＝.

4．(2010·高考辽宁卷)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)

A.       B.       C.       D. 

解析：选B.设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，

所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：

P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)

＝×(1－)＋(1－)×＝.

5．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为(　　)

A．0       B．1       C．2     D．3

解析：选C.由C ()k()5－k＝C ()k＋1·()5－k－1，即C＝C，故k＋(k＋1)＝5，即k＝2.

二、填空题

6．(2010·高考重庆卷)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．

解析：设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.

答案：

7．(2012·潍坊调研)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．

解析：记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.

答案：0.665

8．(2010·高考安徽卷)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①P(B)＝；

②P(B|A1)＝；

③事件B与事件A1相互；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

解析：①P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)

＝×＋×＋×＝，故①错．

②P(B|A1)＝＝.故②正确．

③∵P(A1)＝，P(B)＝，P(A1B)＝，

∴P(A1B)≠P(A1)·P(B)，

故事件B与事件A1不是相互事件，故③错误．

④从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥，因此④正确．

⑤由①知P(B)＝是确定的值，故⑤错误．

答案：②④

三、解答题

9．(2010·高考四川卷)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

(1)求三位同学都没有中奖的概率；

(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．

解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，

那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

P()＝P()P()P()＝()3＝.

即三位同学都没有中奖的概率是.

(2)法一：1－P(BC＋AC＋AB＋ABC)＝1－3×()2×－()3＝.

法二：P(＋A＋B＋C)＝.

所以三位同学中至少有两位没有中奖的概率为.

10．在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为.

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；

(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．

解：(1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，

则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A、B相互．

∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋(1－)×(1－)＝.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B(4，)．

∴P(ξ＝k)＝C ()k(1－)4－k＝C ()4(k＝0,1,2,3,4)．

∴变量ξ的分布列为

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率；

(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列．

解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，

∴甲获第一的概率为×＝，

丙获第二，则丙胜乙，其概率为1－＝，

∴甲获第一名且丙获第二名的概率为×＝.

(2)ξ可能取的值为0、3、6，

甲两场比赛皆输的概率为

P(ξ＝0)＝(1－)(1－)＝；

甲两场只胜一场的概率为

P(ξ＝3)＝×(1－)＋×(1－)＝；

甲两场皆胜的概率为P(ξ＝6)＝×＝.

∴ξ的分布列为