第七章第9课时知能演练轻松闯关

1．(教材习题改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个交点，这样的直线有(　　)

A．1条　　　　　　　　　　　B．2条

C．3条  D．4条

答案：C

2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

3．已知F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为(　　)

A.  B. 

C.  D.－1

答案：B

4．过点A(1,0)作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________.

答案：2

5．(2011·高考天津卷)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．

解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．

A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解

不妨设A，B(0，－ c)．

设点M的坐标为(x，y)，则＝，

＝(x，y＋c)．

由y＝(x－c)，得c＝x－y.

于是＝，＝(x， x)．

由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.

将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.

所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．

1．当a为任何值时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝－x或x2＝y

B．y2＝x或x2＝y

C．y2＝x或x2＝－y

D．y2＝－x或x2＝－y

答案：A

2．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是(　　)

A．(－∞，0)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.数形结合法，与渐近线斜率比较，可得答案为C.

3．(2010·高考课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

解析：选B.∵kAB＝＝1，

∴直线AB的方程为y＝x－3.

由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.

设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

则－＝1.

整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝＝2×(－12)．

∴a2＝－4a2＋4b2，

∴5a2＝4b2.

又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.

∴双曲线E的方程为－＝1.

4．抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是(　　)

A．(，)  B．(1,1)

C．(，)  D．(2,4)

解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任 一点，则P到直线的距离d＝＝＝，

∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．

5．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的标准方程为________．

答案：y2＝8x或y2＝－16x

6．我们知道：“过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则∠POA＝∠POB.”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个：________.

答案：①过抛物线x2＝2py(p＞0)外一点P作抛物线的两条切线PA、PB(A、B为切点)，若F为抛物线的焦点，则∠PFA＝∠PFB.(如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分)

②过椭圆＋＝1(a＞b＞0)外一点P作椭圆的两条切线PA、PB(A、B为切点)，若F为椭圆的一个焦点，则∠PFA＝∠PFB.(如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分)

③过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外(两支之间)一点P(P不在渐近线上)作双曲线的两条切线PA、PB(A、B为切点)，设F为双曲线的一个焦点．a.若A、B在同一支，则∠PFA＝∠PFB；b.若A、B不在同一支，则PF平分∠AFB的邻补角

7．已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线y2＝4x的焦点，离心率是.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆相交于A，B两点．

若线段AB的中点的横坐标是－，求直线AB的方程．

解：(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴上，且a＝.又c＝ea＝×＝，故b＝＝＝，故所求的椭圆方程为＋＝1.

(2)依题意，直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，

将y＝k(x＋1)代入＋＝1，消去y整理得，

(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

由线段AB的中点的横坐标是－，

得＝－＝－，解得k＝±，适合①.

所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为(　　)

A.  B. 

C．2  D．1

解析：选A.由e＝2得，＝2，从而b＝a＞0，所以＝a＋≥2＝2＝，当且仅当a＝，即a＝时，“＝”成立．故选A.

2．(2012·广州调研)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为(　　)

A．－a  B．－b

C．－c  D．a＋b－c

解析：选A.设内切圆M与△PF1F2三边切点分别为D、E、F，由双曲线定义知2a＝|PF2|－|PF1|＝(|PF|＋|FF2|)－(|PE|＋|EF1|)＝|FF2|－|EF1|＝|DF2|－|DF1|，又|DF2|＋|DF1|＝2c，∴|DF2|＝a＋c，|DF1|＝c－a，∴xD＝－a，即圆心M的横坐标为－a.

3．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．

解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2＝，k1＝，k1k2＝.

由，相减得y－y＝－(x－x)．

故k1k2＝－.

答案：－

4．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为－1的点P的个数为________．

解析：设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，

代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，

由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2，

显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，

∵直线y＝2x＋2与l距离d＝，

∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，须使h＝，∵d＝h，∴直线y＝2x＋2与椭圆切点，及y＝2x＋4－2与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．

答案：3

5．已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴上运动．且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.

(1)求曲线C的方程；

(2)求△OPQ面积的最大值．

解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，

则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，

∴＝，

∴∴a＝x，b＝y.

又|AB|＝＝8，∴＋＝1.

∴曲线C的方程为＋＝1.

(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，

设直线PM方程为x＝my＋4，由

消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，

∴|yP－yQ|＝

＝.

∴S△OPQ＝|OM|·|yP－yQ|＝2×

＝＝

＝≤＝，

当＝，即m＝±时△OPQ的面积取得最大值为.

6．已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求·的取值范围．

解：(1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，

则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝.

由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝)，得直线AF2：

＋y＝1，

即x＋cy－c＝0，

由直线AF2与圆M相切，得＝，

解得c＝或c＝－(舍去)．

则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y2＝1.

(2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，设P(x，y)，

由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，

即()2＝·，

化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.

因为点P在椭圆内，

故＋y2<1，即＋x2－1<1，

∴x2<，∴1≤x2<，

又·＝x2－2＋y2＝2x2－3，

∴－1≤·<0.