数学建模课后答案

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为。和都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，中至少有一个不为零。不妨设。当椅子旋转90°后，对角线互换，。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：

已知的连续函数，对任意，。证明存在，使

证：令，

由的连续性知h也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，

必存在（0＜＜π/2）使，即

因为，所以

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第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 (1)k是产量增加一个单位时成本的降低 ，

销售量x与价格p呈线性关系  (2)

收入等于销售量乘以价格p :         (3)

利润                        (4)

将（1）（2）（3）代入（4）求出

当给定后容易求出使利润达到最大的定价为

6.根据最优定价模型  x是销售量 p是价格，成本q随着时间增长，为增长率，为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系.

利润.假设前一半销售量的销售价格为，后一半销售量的销售价格为。

前期利润  

后期利润 

总利润 

由可得到最优价格:

前期销售量 

后期销售量 

总销售量 =

在销售量约束条件下U的最大值点为 

 ,

7.

(1)雨水淋遍全身，

  以最大速度跑步，所需时间

(2)顶部淋雨量

   雨速水平分量 ,水平方向合速度 

   迎面淋雨量 

   总淋雨量 

   当时，Q最小，L;

(3)合速度为总淋雨量

若,即,则时Q最小，

否则时Q最小，当，最小

（4）雨从背面吹来，满足，,Q最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化

第四章

1.（1）设证券A B C D E的金额分别为 

(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为11，求解得：证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由（1）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券C的税前收益可减少0.112%，故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

6.设分别是产品A是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为,优化目标是总利润最大，

7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为该模式使用次，即使用该模式切割根原料钢管（i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。

第五章

1、（1）SIR模型,s(t)曲线单调递减。

若,当时，,i(t)增加；

         当时，,i(t)达到最大值；

         当时，,i(t)减少，且

(2)若单调递减至0

9.（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率;（2）提倡晚婚晚育：生育模式取得，意味着晚婚，增加意味着晚育，这里的增大（3）生育第二胎的规定：,生育模式曲线更加扁平。