绝对值与一元一次方程(含问题详解)-

知识纵横

    绝对值是初中数学最活跃的概念之一,能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.毛

    解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.

    解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.

例题求解

    【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)

    思路点拨  设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.

解:x=11  

提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.

    【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有(   ).

      A.5      B.4      C.3      D.2      (第11届“希望杯”邀请赛试题)

    思路点拨  用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.

解:选B  

提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,所以2a表示-7到1之间的偶数.

    【例3】解方程:

    │x-│3x+1││=4;       (天津市竞赛题)

    思路点拨  从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.

    解:x=-或x= 提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4

    【例4】解下列方程:

    (1)│x+3│-│x-1│=x+1;        (北京市“迎春杯”竞赛题)

    (2)│x-1│+│x-5│=4.          (“祖冲之杯”邀请赛试题)

    思路点拨  解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.

    解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;

    当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;

    当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.

    综上知原方程的解为x=-5,-1,3.

    (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.

    【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.

    思路点拨  方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.

    解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:

    (1)当a>1时,原方程解为x=;

    (2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;

    (3)当a<1时,原方程无解.

学力训练

一、基础夯实

1.方程3(│x│-1)= +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.

2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.

3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.

4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.

5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是(   ).

    A.-2      B.0       C.        D.不存在

6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为(   ).

    A.不确定     B.无数个      C.2个     D.3个   (“祖冲之杯”邀请赛试题)

7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-|-1=0,则m的值是(   ).

    A.10或        B.10或-

    C.-10或       D.-10或-          (2000年山东省竞赛题)

8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于(   ).

    A.20或-21        B.-20或21

    C.-19或21        D.19或-21            (2001年重庆市竞赛题)

9.解下列方程:

    (1)││3x-5│+4│=8;               (2)│4x-3│-2=3x+4;

(3)│x-│2x+1││=3;               (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.

10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

二、能力拓展

11.方程││x-2│-1│=2的解是________.

12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.

13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.

                                           (武汉市选拨赛试题)

14.若015.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于(   ).

    A.m-2001        B.-m-2001          C.m+2001        D.-m+2001

16.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是(   ).

A.m>n>k B.n>k>m C.k>m>n D.m>k>n

17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有(   )个.

    A.0      B.1     C.2      D.大于2的自然数

18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有(   ).

    A.1个     B.2个     C.3个     D.无数个

19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,求b的值.                   (“华杯赛”邀请赛试题)

20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?

三、综合创新

21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.

                                                (第15届江苏省竞赛题)

22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;

    (2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?

    (3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.

【学力训练】(答案)

1.±、2或0  2.0或-1  3.5  

4.-1,a≥0  提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥0  

5.D  6.B  7.A  8.D

9.(1)x=3或x=;

(2)x=9或x=-;

(3)x=-或x=2;

(4)提示:分x<-1、-1≤x< 、 ≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到≤x≤2时,原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足≤x≤2的x值都是方程的解.

10.当k<0时,原方程无解;

当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;

当0当k=2时,原方程化为│x+3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;

当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(2+k).

11.±5   12.1-x  13.b≤x≤a  提示:利用绝对值的几何意.

14.7、21  

提示:当0当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,6

15.D  提示:m≤0  16.A  17.C  提示:-2≤3x≤4  18.B

19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;

如果都不是零,则得4个解,故b=3.

20.提示:由绝对值几何意义知:

当-3当a=±3时,方程有无穷多个解;

当a>3或a<-3时,方程无解.

21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,

由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,

故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;

当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.

22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.毛