【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业：2-3函数的奇偶性与周期性

时间：45分钟　满分：100分　班级：________　姓名：________　座号：________

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·江西红色六校联考)设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是(　　)

A．(－1,0)　    B．(0,1)

C．(－∞，0)    D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

2．(2014·诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝＋成立，则f(x)(　　)

A．是奇函数，但不是偶函数

B．是偶函数，但不是奇函数

C．既是奇函数，又是偶函数

D．既不是奇函数，又不是偶函数

3．(2014·江西盟校二联)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1，3]上的解集为(　　)

A．(1,3)    B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)    D．(－1,0)∪(0,1)

4．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝(　　)

A．3    B．2

C．1    D．0

5．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为(　　)

A．{x|x<－2，或x>4}    B．{x|x<0，或x>4}

C．{x|x<0，或x>6}    D．{x|x<－2，或x>2}

6．(2014·辽宁大连)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为(　　)

A．5    B．6

C．7    D．8

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)

7．(2014·金华十校模拟)已知函数f(x－1)为奇函数，函数f(x＋3)为偶函数，f(0)＝1，则f(8)＝________.

8．(2014·山东滨州一模)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则f()，f(2)，f(3)从小到大的关系是________．

9．(2014·银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：

①f(2)＝0；

②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；

③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；

④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.

以上命题中所有真命题的序号为________．

10．(2014·济宁高三一模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈(0，)时，f(x)＝sinπx，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________．

三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)

11．(能力题)设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

12．(2014·广东六校联考)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

13．(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足

①f(x1－x2)＝；

②存在正常数a，使f(a)＝1.

求证：(1)f(x)是奇函数；

(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.

函数的奇偶性与周期性参

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．解析：因为函数f(x)＝lg(＋a)为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg(－1)＝lg.令f(x)＜0，得0＜＜1，即x∈(－1,0)．

2．解析：令x＝y＝1，则f(1)＝＋，∴f(1)＝0.

令x＝y＝－1，则f(1)＝＋，∴f(－1)＝0.

令y＝－1，则f(－x)＝＋，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．

又∵f(x)不恒为0，∴f(x)不是偶函数．故选A.答案：A

3．解析：f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x∈Ø；

当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.答案：C

4．解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3.答案：A   5．解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，所以x>2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)>0的解集为{x|x<－2，或x>2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)>0的解集为{x|x<0，或x>4}．答案：B

6．解析：根据题意，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以当x＝0时，f(x)＝g(x)．

当x≠0时，若0同理可以得到在区间[－，0)，(，1]，(1，]上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有6个．

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)

7．解析：由y＝f(x－1)为奇函数得f(－x－1)＝－f(x－1)，由y＝f(x＋3)为偶函数得f(－x＋3)＝f(x＋3)，则f(8)＝f(5＋3)＝f(－5＋3)＝f(－2)＝f(－1－1)＝－f(1－1)＝－f(0)＝－1.

8．解析：由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得y＝f(x)的图象，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；根据③可知函数f(x)在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1,2]上，1＜＜2，所以f(1)＜f()＜f(2)，即f(3)＜f()＜f(2)．答案：f(3)＜f()＜f(2)

9．解析：令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④

10．解析：由f(x)是定义域为R的奇函数，可知f(0)＝0.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(3)＝0.令x＝－，得f()＝f(－)，所以f()＝0.又当x∈(0，)时，f(x)＝sinπx，所以f(1)＝0，f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，则f(x)在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f(x)在区间(3,6]上有4个零点，故f(x)在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9

三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)  11．证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，

∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

12．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0⇒b＝1，

所以f(x)＝，又由f(1)＝－f(－1)   知＝－⇒a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又因f(x)是奇函数，从而不等式：

f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2，

即对t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0⇒k＜－.

13．解：(1)不妨令x＝x1－x2，则f(－x)＝f(x2－x1)＝

＝－＝－f(x1－x2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．

(2)要证f(x＋4a)＝f(x)，可先计算f(x＋a)，f(x＋2a)，

∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝＝＝，(f(a)＝1)．

∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－.

∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝＝f(x)．故f(x)是以4a为周期的周期函数．