2017届高三数学(理)一轮总复习(人教通用)板块命题点专练：5三角函数的诱导公式及图象与性质.do

(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)

A.43

B.34

C ．－34

D ．－43 解析：选C 两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α

，得到tan 2α＝－34. 2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆

上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的

垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )

在[0，π]的图象大致为( )

解析：选B 由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，

当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12

sin 2x ； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12

sin 2x ，故选B. 3．(2015·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.

所以2sin αcos α－cos 2

α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α－1tan 2α＋1 ＝－4－14＋1

＝－1. 答案：－1

命题点二 三角函数的图象与性质命题指数：☆☆☆☆☆

难度：中题型：选择题、填空题、解答题

1．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )

A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2

B ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x

解析：选A y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2

＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；

y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C 、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C 、D 不正确．

2．(2015·陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.

3．(2014·福建高考)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2

个单位，得到函数y ＝f (x ) 的图象，则下列说法正确的是 ( )

A ．y ＝f (x )是奇函数

B ．y ＝f (x )的周期为π

C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2

对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭

⎫－π2，0对称 解析：选D 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2

个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x

的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，A 错；f (x )＝cos x 的周期为2π，B 错；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2

＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2

对称，C 错；函数f (x )的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0k ∈Z ，D 对．

4．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6

，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A ．①②③

B ．①③④

C ．②④

D ．①③

解析：选A ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝

cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，最小正周期为π2

，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.

5．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线

y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3

，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2

B.2π3 C ．π D ．2π

解析：选C 由题意得函数f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3

，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω

＝π. 6．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期

为π，当x ＝2π3

时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)＜f (－2)＜f (0) B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)

C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)

D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)

解析：选A 由题意，得T ＝2πω

＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，

而当x ＝2π3时，2×2π3＋φ＝2k π＋3π2

(k ∈Z)， ∴φ＝2k π＋π6

(k ∈Z)， 又φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6.

当2x ＋π6＝2k π＋π2

(k ∈Z)， 即x ＝π6

＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值． 下面只需判断2，－2,0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，

当k ＝0时，x ＝π6，⎪⎪⎪

⎪0－π6≈0.52，⎪⎪⎪⎪2－π6≈1.48， 当k ＝－1时，x ＝－5π6，⎪

⎪⎪⎪－2－⎝⎛⎭⎫－5π6≈0.6， ∴f (2)＜f (－2)＜f (0)．

7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．

解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1

＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22

sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时，f (x )取得最小值为32－22＝3－22

. 答案：π 3－22

8．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．

解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，

所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4

＋2k π，k ∈Z.

又ω－(－ω)≤2π

ω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4

， 所以ω＝

π2. 答案：π2

9．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭

⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3

均不是f (x )的

极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴x ＝π6

也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝⎛⎫7π12－π2＝π12

为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭

⎫7π12－π12＝π. 答案：π

10．(2014·北京高考)函数f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6 的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；

(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2

，－π12 上的最大值和最小值．

解：(1)f (x )的最小正周期为2πω＝2π2＝π，x 0＝7π6

，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6

，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12

时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3

时，f (x )取得最小值－3. 11．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝12

sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；

(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )

的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．

解：(1)f (x )＝12

sin 2x －3cos 2x

＝12sin 2x －32

(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32

＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32

. (2)由条件可知g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32

. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 从而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦

⎤12，1， 那么g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－32，2－32. 12．(2014·福建高考)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12

. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22

，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．

解：法一：(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22

. 所以f (α)＝22⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12

. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12

＝12sin 2x ＋12

cos 2x ＝22

sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2

＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2

，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.

所以f (x )的单调递增区间为⎣

⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12

＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12

＝12sin 2x ＋12

cos 2x ＝22

sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4

， 从而f (α)＝22

sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2

＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2

，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8

，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣

⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.