四川省南充市2015年中考数学试卷及答案解析版

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项代号在答题卡对应位置填涂．填涂正确记3分，不涂、错涂或多涂记0分．

1.计算3＋（－3）的结果是（   ）

（A）6   （B）－6   （C）1   （D）0

【答案】D

考点：有理数的计算.

2.下列运算正确的是（   ）

（A）3x－2x＝x     （B）     （C）    （D）

【答案】A

【解析】

试题分析：同底数幂的相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减.A、正确；B、原式=6；C、原式=4；D、原式=3.

考点：单项式的乘除法计算.

3.如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（   ）

【答案】A

【解析】

试题分析：根据三视图的法则可得：正六棱柱的主视图为3个矩形，旁边的两个矩形的宽比中间的矩形的宽要小.

考点：三视图.

4.学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（   ）

（A）25台   （B）50台     （C）75台      （D）100台

【答案】C

考点：一元一次方程的应用.

5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2 海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是（   ）

（A）2 海里     （B）海里   

（C）海里  （D）海里

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意可得∠PAB=55°，则cos∠PAB=，即cos55°=，则AB=2·cos55°.

考点：三角函数的应用.

6.若m＞n，下列不等式不一定成立的是（   ）

（A）m＋2＞n＋2       （B）2m＞2n      （C）     （D）

【答案】D

考点：不等式的应用.

7.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b．关于a，b大小的正确判断是（   ）

（A）a＞b    （B）a=b     （C）a＜b   （D）不能判断

【答案】B

【解析】

试题分析：根据正六边形的性质可得图中六个三角形的面积相等，则指针落在阴影部分的概率为，即a=；投掷一枚硬币，正面向上的概率为，即b=，则a=b.

考点：正六边形的性质、概率的计算.

8.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（   ）

（A）60°   （B）65°    （C）70°    （D）75°

【答案】C

考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.

9.如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（   ）

（A）1:2    （B）1:3    （C）1:   （D）1:

【答案】D

【解析】

试题分析：设AC与BD的交点为O，根据周长可得AB=BC=2，根据AE=可得BE=1，则△ABC为等边三角形，则AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.

考点：菱形的性质、直角三角形.

10.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（   ）

（A）0个   （B）1个     （C）2个     （D）3个

【答案】D

考点：一元二次方程根与系数的关系.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案直接填写在对应横线上．

11.计算的结果是＿＿＿＿＿．

【答案】

【解析】

试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2－2×=.

考点：实数的计算.

12.不等式的解集是＿＿＿＿＿＿．

【答案】x＞3

考点：解不等式.

13.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是＿＿＿＿＿度．

【答案】60

考点：角平分线的性质、三角形外角的性质.

14.从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是＿＿＿＿＿＿．

【答案】

【解析】

试题分析：绝对值小于2的数为：－1，0和1三个，则P(绝对值小于2)=.

考点：概率的计算.

15.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是＿＿＿＿．

【答案】－1

考点：二元一次方程.

16.如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD 中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）

【答案】①②④

【解析】

试题分析：根据切线的性质可得DQ=AD=1，过点Q作QE⊥BC，则△BQE∽△BPC，则，则，过点Q作QF⊥AD，则DF=，则cos∠ADQ==.则①②④正确.

考点：圆的基本性质.

三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 

17.（6分）  计算：．

【答案】－2a－6

考点：分式的化简.

18.（6分）某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查。根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°。已知九年级乘公交车上学的人数为50人．

（1）九年级学生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？

（2）如果全校有学生2 000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？

【答案】骑自行车的人数多，多50人；不够.

 (50÷)×=100(人)     100－50=50(人)   九年级骑自行车比乘公交车上学人数多50人.

(2)、2000×≈667(人)    即学校准备的400个自行车停车位可能不够.

考点：扇形统计图.

19.（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．

求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．

【答案】略.

【解析】

试题分析：根据AD⊥BC，CE⊥AB，得出∠AEF=∠CEB=90°，即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°，结合∠AEF=∠CFD得出∠EAF=∠ECB，从而得到△AEF≌△CEB；根据全等得到AF=BC，根据△ABC为等腰三角形则可得BC=2CD，从而得出AF=2CD.

试题解析：(1)、∵AD⊥BC，CE⊥AB   ∴∠AEF=∠CEB=90°   即∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90°

又∵∠AEF=∠CFD   ∴∠EAF=∠ECB    

在△AEF和△CEB中，∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB    ∴△AEF≌△CEB

(2)、由△AEF≌△CEB得：AF=BC    在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC     ∴CD=BD，BC=2CD   ∴AF=2CD.

考点：三角形全等、等腰三角形的性质.

20.（8分）已知关于x的一元二次方程，p为实数．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

【答案】略；P=0、2、－2.

【解析】

考点：一元二次方程根的判别式.

21.（8分）反比例函数与一次函数交于点A（1，2k－1）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．

【答案】y=；y=－或y=.

【解析】

试题分析：首先根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；根据点A的坐标和三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.

①、当一次函数过A(1,1)和B(6,0)时，得：   解得：

∴一次函数的解析式为y=－

②、当一次函数过A(1,1)和B(－6,0)时，得：   解得：

∴一次函数的解析式为y=

综上所述，符合条件的一次函数解析式为y=－或y=.

考点：一次函数与反比例函数.

22.（8分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

【答案】△AMP∽△BPQ∽△CQD；AB=6.

试题解析：(1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD

(2)、设AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x    AB=DC=2x   AM=1

由△AMP∽△BPQ得：   即

由△AMP∽△CQD得：   即CQ=2

AD=BC=BQ+CQ=+2     MD=AD－AM=+2－1=+1

又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=   DF=DC=2x  ∴    解得：x=3或x=(不合题意，舍去)

∴AB=2x=6.

考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.

23.（8分）

某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元．电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度；月用电量不超过4万度时，单价都是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y与月用电量x的函数关系可以用如图来表示．（效益＝产值－用电量×电价）；

（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）求工厂最大月效益．

【答案】z=；54万元.

试题解析：(1)、根据题意，电价y与用电量x的函数关系式是分段函数.

当0≤x≤4时，y=1       当4＜x≤16时，函数是过点(4，1)和(8,1.5)的一次函数

设一次函数为y=kx+b   ∴    解得：

∴电价y与用电量x的函数关系为：y=

月效益z与用电量x之间的函数关系式为：z=

即z=

考点：分段函数的应用.

24.（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至△ABP’，连结PP’，并延长AP与BC相交于点Q．

（1）求证：△APP’是等腰直角三角形；

（2）求∠BPQ的大小；

（3）求CQ的长．

【答案】略；45°；

【解析】

试题分析：根据旋转得到AP=AP′  ∠BAP′=∠DAP，从而得出∠PAP′=90°，得到等腰直角三角形；根据Rt△APP′得出PP′的大小，然后结合BP′和BP的长度得到，从而得出△BPP′是直角三角形，然后计算∠BPQ的大小；过点B作BM⊥AQ于M，根据∠BPQ=45°得到△PMB为等腰直角三角形，根据已知得出BM和AM的长度，根据Rt△ABM的勾股定理求出AB，根据△ABM∽△AQB得出AQ的长度，最后根据Rt△ABO的勾股定理得出BQ的长度，根据QC=BC－BQ得出答案.

试题解析：(1)、证明：由旋转可得：AP=AP′  ∠BAP′=∠DAP   

∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90°    ∴△APP′是等腰直角三角形

(3)、过点B作BM⊥AQ于M    ∵∠BPQ=45°   ∴△PMB为等腰直角三角形

由已知，BP=2   ∴BM=PM=2   ∴AM=AP+PM=3  在Rt△ABM中，AB=

∵△ABM∽△AQB    ∴   ∴AQ=

在Rt△ABO中，BQ=   ∴QC=BC－BQ=－=

考点：旋转图形的性质、勾股定理、三角形相似.

25.（10分）已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．

（1）求抛物线解析式．

（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当 最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．

（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

【答案】y=－+2x+3；当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4)；当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为：++3.

【解析】

试题分析：根据对称轴求出b的值，然后根据交点得出方程的解，然后利用一元二次方程的韦达定理求出m和c的值，从而得到抛物线解析式；根据函数的交点得出+和·的值，然后利用完全平方公式求出最小值，得出交点的坐标；根据线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，平移线段OC到BC′得到四边形OBC′C是矩形，做点P关于x轴对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出当y=0时，x的值，从而得出平移后点B′的坐标，故点B向左平移，同时点O向左平移，平移到O′(－，0)即线段OB向左平移时，周长L最短.此时线段BP、CO之和最短为P′C′=，O′B′=OB=3   CP=

(2)、由  ∴+(k－2)x－1=0   +=－(k－2)  ·=－1

∴   ∴当k=2时，的最小值为4

即的最小值为2     ∴－1=0   =1，=－1，即=4，=0

∴当最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)，N(1,4).

(3)、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3)   O、B、P、C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO

∵线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变    ∴要使L最小，只需BP+CO最短

如图，平移线段OC到BC′    四边形OBC′C是矩形    ∴C′(3,3)

做点P关于x轴对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x轴交于点B′，设C′P′解析式为y=ax+n

∴   解得：   ∴y=

当y=0时，x=    ∴B′(，0)   有3－=   故点B向左平移，平移到B′

同时点O向左平移，平移到O′(－，0)

即线段OB向左平移时，周长L最短.

此时线段BP、CO之和最短为P′C′=，O′B′=OB=3   CP=

∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′(－，0)，点B平移到B′(，0)时，周长L最短为：++3.

考点：图形的平移、一元二次方程的韦达定理、二次函数与方程.