高中数列大题

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

2.设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

（1）求数列的通项公式及前项和；    

3.各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有

（1）当时，求通项            

（2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有

4.已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

5.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。                                         

（I）求数列与数列的通项公式；

（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

6.（2009北京文）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

7.(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的   ，点，均在函数且均为常数)的图像上.      

（1）求r的值；      

（11）当b=2时，记     求数列的前项和

1、分析：（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。     

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

2、（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

(2) （方法一）=,设，     

则=,   所以为8的约数

（方法二）因为为数列中的项，

故为整数，又由（1）知：为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。   

3、解：（1）由得

将代入化简得           

所以            

故数列为等比数列，从而

即

可验证，满足题设条件.

(2) 由题设的值仅与有关,记为则            

考察函数 ,则在定义域上有           

故对， 恒成立.            

又 ,

注意到,解上式得

取,即有  .

4、解（I）在中，令n=1，可得，即

当时，，

.

  .                        

 又数列是首项和公差均为1的等差数列.

 于是.

(II)由（I）得，所以

由①-②得                   

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由                   

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

5、解（I）当时，                                          

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，          …………………………………3分

（II）不存在正整数，使得成立。

证明：由（I）知                                          

∴当n为偶数时，设                                          

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有                                          

∴不存在正整数，使得成立。      …………………………………8分

（III）由得                                         

又，                                         

当时，，

当时，

6、解（Ⅰ）由题意，得，解，得.      

∴成立的所有n中的最小整数为7，即.

（Ⅱ）由题意，得，

对于正整数，由，得.

根据的定义可知

当时，；当时，.

∴

.

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.

∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有

，即对任意的正整数m都成立.

 当（或）时，得（或），

 这与上述结论矛盾！

当，即时，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是，..

7、解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,,      

当时,,

又因为{}为等比数列,  所以,  公比为,     所以

（2）当b=2时，,    

则

相减,得

所以

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.