微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式

1.计算悬链面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.

解 ={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0}

={coshucosv,coshusinv,0},={-sinhusinv,sinhucosv,0},

={-coshucosv,-coshusinv,0},= coshu,=0,=coshu.

所以= coshu+ coshu .

==,

L=, M=0, N==1 . 

所以= -+ 。

2.计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.

解 曲面的向量表示为,

,,,

 ,, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 

=, =.

3. 证明对于正螺面={u,u,bv},-∞解  ，={0,0,0},

={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .

4. 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.

解 ,,,

,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率.

     5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0解 设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为,即(C)的曲率为

,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于,所以(C)的法曲率为=1 .

6. 利用法曲率公式,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv

或-，所以，即第一、第二类基本量成比例。

7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。

证明对于正螺面={u,u,bv}，

，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，

 L==0,  N==0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。

8. 求曲面的渐近线.

解 曲面的向量表示为,,

.

.

渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.

8.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.

方法二：任取曲线，它的主法线曲面为，

，，

在曲线上，t = 0 , ,曲面的单位法向量，即，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

9.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.

证 曲面的向量表示为 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。

,.

因为,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。

11.确定螺旋面={u,u,bv}上的曲率线.

解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L=0, M= , N=0,曲率线的微分方程为:

,即,积分得两族曲率线方程:

.

    12.求双曲面z=axy上的曲率线.

解 N=0 .

 由=0得,积分得两族曲率线为.

13.求曲面上的曲率线的方程.

解  

M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:

:

 .

    14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线.

证法一：因 L是曲率线,所以沿L有,又沿L 有•=常数,求微商

得,所以,即-·=0,则有=0,或·=0 .

若=0, 则L是平面曲线；若·=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ，=0 ，这时d=，为常向量，而当L是渐近线时，=，所以为常向量，L是一平面曲线.

证法二：若 ，则因‖ ，所以‖ ，所以d‖，由伏雷

内公式知d‖（）而L是曲率线，所以沿L有d‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线；

若不垂直于， 则有•=常数,求微商得因为L是曲率线，所

以沿L有‖，所以，所以，即-·=0 ，若=0，则问题得证；否则·=0 ，则因，有‖，‖‖（-）‖ ，矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。

 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。

 16．求正螺面的主曲率。

解 设正螺面的向量表示为={u,u,bv}.

解，={0,0,0}，

={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式

（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 

所以主曲率为   。

17．确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.

解 曲面方程即，，，， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,

N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为  = 2 a , = 2 a .

18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.

证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为，

 ，即

为常数。

19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.

证 由 得  ,即渐进方向为

,=-.又-+=2 为常数,所以为为常数,即为常数.

20. 求证 正螺面的平均曲率为零.

证  由第3题或第16题可知.

21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.

证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=,

 K ==-.

22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

证法一：  由H==0有==0或=-0 .

若==0,则沿任意方向,=0 ,即对于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点.

若=-0,则K=<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点.

证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 

所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若< 0,则曲面上的点是双曲点。

23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.

证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点.

若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.

若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向满足=1,

即=/4,=- /4, 两渐近线的夹角为,即渐近曲线网构成正交网.

     证法二：渐近线方程为

所以，所以 ，所以

= ，所以渐近网为正交网。

     证法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若

 ，则 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。

24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 ={(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

   解   E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos),   

LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符号与cos的符号一致,当0≤<和 <<2时, LN ->0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-<<，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=或 时，LN -=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。

25．若曲面的第一基本形式表示为的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面上存在等温网。

证  旋转曲面的第一基本形式为

 ，做参数变换，v=,则在新参数下，为等温网。

26．两个曲面、交于一条曲线（C），而且（C）是的一条曲率线，则（C）也是的一条曲率线的充要条件为、沿着（C）相交成固定角。

证  两个曲面、交于曲线（C），、分别为、的法向量，则沿交线（C），与成固定角的充要条件为·=常数，这等价于d(·)=0,即

d·+·d=0 ,而（C）是的一条曲率线，因此d与（C）的切向量d共线，则与 正交，即d·=0，于是·d=0，又d⊥，所以· d= d·=0的充要条件为d// d，即（C）是的曲率线。

27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是,另一条在点P的挠率是-，其中K是(S)在P点的高斯曲率。

证 曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有=，且II=0，于是有d=d .则，即或

，所以有。

28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。

证 设给出的曲面(S): =(u,v)上的点(u,v)与(u,v)D内的点一一对应，其球面像上的点为=(u,v),由于,所以=

 ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M0,则。

说明球面像上的点(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。