关于正交矩阵的讨论

关于正交矩阵的讨论

摘 要: 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。

　　要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v 的长度的平方是 vv。如果矩阵形式为 Qv 的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。

　　有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。N*N 正交矩阵形成了一个群，即指示为的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

关键词: 酉矩阵，正交变换，正交群

目    录

1引言    1

2正交矩阵的定义和性质    1

2.1正交矩阵的定义    1

2.2正交矩阵性质    1

3正交矩阵的作用    2

3.1正交矩阵在线性代数中的作用    2

3.1.1引理1    3

3.1.2定理1    3

3.1.3引理2    4

3.1.4定理2    4

3.2正交矩阵在化学中的作用    7

3.3正交矩阵在物理中的作用    11

4结束语    13

参考文献    14

1引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用。

2正交矩阵的定义和性质

为了后面论述的方便,我们先叙述一些重要的概念和结论.

2.1正交矩阵的定义

定义1  n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.

定义2  n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.

定义3  n阶实矩阵A，若满足，则称A为正交矩阵.

定义4  n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.

    以上四个定义是等价定义.

2.2正交矩阵性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质.

性质1 ∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵；

性质2  A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，，即；

当∣A∣=-1时, ,即.

性质3  若也是正交矩阵，则都为正交矩阵.

证明：

<1>显然

所以也是正交矩阵.

<2>，显然为正交矩阵.

由， 

当时，，即

当时，，即

所以为正交矩阵.

<3>由， 可知

故为正交矩阵.由<1>,<2>推知均为正交矩阵.

正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.

3正交矩阵的作用

3.1正交矩阵在线性代数中的作用

     在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量，令，  ，则称阶矩阵

为初等旋转矩阵.

初等旋转矩阵，是由向量的第两个元素定义的，与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别.

设是由向量定义的初等旋转矩阵，则有如下的性质：

   〈1〉是正交矩阵；

   〈2〉设 

则有  ；

   〈3〉用左乘任一矩阵A， A只改变A的第行和行元素（用右乘任一矩阵A，A只改变A的第列和列元素）.

证明  〈1〉，故，是正交矩阵.

      〈2〉由的定义知，用左乘向量，只改变的第两个元素，且  

所以左乘，使的第个分量非负，第个分量为0，其余分量不变.

          〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.

3.1.1引理1  

任何阶实非奇异矩阵，可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.

3.1.2定理1  

设是阶正交矩阵

若，则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，

即；

若，则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵，即，其中（i=1,2,…r）是初等旋转矩阵.

证明  由于是阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵，而且的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有

                                  （1）                                        

由是正交矩阵和（1）式得

   即                  （2）                                                                   设=其中， >0(i=1,2,…n-1)

则=

由上式得

所以  　　　　　　　　　　　　　　    （3）                                      

于是由（1）（3）式得

<1>当时，；

<2>当时， .

记，是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.

3.1.3引理2 

    设其中是阶正交矩阵，是阶上三角阵，是零矩阵.

利用以上的结论可得：

3.1.4定理2  

设，则可以通过左连乘初等旋转矩阵，把变为的形式，其中是阶上三角阵，是矩阵.

证明　由引理2知，其中是阶正交矩阵，是阶上三角阵，又根据定理1知：

其中

是初等旋转矩阵.

<1>当时， 

<2>当时， 于是有

显然，是阶上三角阵，当时与除最后一行对应元素绝对值相等符号相反外，其余元素对应相等.当时时，

，所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.

设，，……， 

是欧氏空间的子空间的一组基，记

是秩为的的矩阵.

若满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵，使　　　　　　　　　　　                   （4）  

且

　　　　　               （5）  

由（4）（5）两式知，对、做同样的旋转变换，在把化为的同时，就将化成了，而的前个列向量属于子空间.

综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基： 为一组标准正交基的方法为：

<1>由已知基为列向量构成矩阵；

<2>对矩阵施行初等旋转变换，化为，同时就被化为正交矩阵，这里是阶上三角阵；

<3>取的前个列向量便可得的一组标准正交基.

显然，上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.

下面，我们通过实例说明此方法的应用.

例  求以向量，，为基的向量空间的一组标准正交基.

解  矩阵

对分块矩阵依次左乘，， 

    ＝,=

=          

得   

=

则，取

，， 

则就是由得到的的一组标准正交基.

3.2正交矩阵在化学中的作用

在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为，为新的杂化轨道，为参加杂化的旧轨道，为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数.

在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：

〈1〉杂化轨道的归一性

杂化轨道满足.

〈2〉杂化轨道的正交性

.

〈3〉单位轨道贡献

每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨

道成分之和必须为一个单位，即=1.

由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程.

（1）杂化轨道.

以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：

，这样在形成分子时，激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道、、、是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量、、、，那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵.

  = 

A为正交矩阵，分别是、、、在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量、、、在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道、、、进行杂化时形成四个等同的杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道和成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A.

    = (取正值)

因为是等性杂化轨道.

=1

    =（取正值）

    取符合条件的   ，， 

 即  

取  ， 

可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为：

（2）杂化轨道

一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样，线性变换的系数矩阵是正交矩阵.

根据等性杂化理论    ， 

（取正值）

    杂化轨道式为： 

3.3正交矩阵在物理中的作用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.

设曲线线只差一个运动，从曲线到曲线的变换为

                             （1）

其中

是三阶正交矩阵，是常数.

对（1）两边求阶导数得

        从而有

                      （2）

因为A是正交矩阵，所以亦有

                                  （3）

另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵

两边取行列式，由得

现在取（）=（） 来讨论，

而（）=（）可类似地讨论.因为

            （4）                （5）

（2）代入（4）的右边得      （6）  

（3）因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得

由正交矩阵的性质〈2〉知，且由

将上面三式左右分别平方相加

=+ +

=

写成矢函数，即得

于是我们可以推得：

这里的分别是曲线的曲率与挠率.

4结束语

正交矩阵的特殊构造决定了他的一些特殊性质，在科技快速发展的今天，这些性质在物理、化学领域有了非常广泛的应用。本文关于正交矩阵在这方面的论述可以推广到科学论证的许多方面,比如原子轨道问题和物理学中曲率和挠率的问题。

参考文献

[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160-1页.

[2]赵成大等《物质结构》人民教育出版社 1982.9  219-226页.

[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社 1998.5  110~111，193-195页.

[4]严志达等 《lie群及其lie代数》高等教育出版社 1985.10  11，16-17页.

[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社 1997.12  271-273，276-277页.

[6]戴立辉等 《正交矩阵的若干性质》 华东地质学院学报  2002.9 第25卷第31期  267~268页.

[7]刘钊南 《正交矩阵的作用》  湘潭师范学院学报 1987 11-16页.

[8]刘国志 《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》  抚顺石油学院学报 1996.3 16卷1期78- 81页.

[9]张焕玲等 《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学  1996.3 9卷1期 14-16页.

[10]陈少白 《空间曲线的刚体运动基不变量》  武汉科技大学学报 2003.12  26卷4期  424-426页.

Discussion on the orthogonal matrix

Abstract：Orthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector v. v the length of the square is vv. If the matrix form of linear transformation Qv maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. n × n orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group, it and its subgroups widely used in mathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines . In this paper, the nature of the orthogonal matrix of the most important start to discuss the role of its four points, Orthogonal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix, after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the normalization requirements . To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector v. v the length of the square is vv. If the matrix form of linear transformation Qv maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. n × n orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group, it and its subgroups widely used in mathematics and physical science. Making it in different areas have broad effect , also contributed to the development of other disciplines. In this paper, the nature of the orthogonal matrix of the most important start to discuss the role of its four points .

Key word： Western matrix; orthogonal transform; orthogonal group